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¿Qué es un Jacobiano y para qué sirve?
El jacobiano es simplemente un determinante que sirve para pasar o transformar de un sistema de coordenadas a otro. También se llama determinante funcional. 

Por ejemplo para pasar de un sistema rectangular a polar, de un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de coordenadas esféricas etc. 

Se usa mucho en el análisis tensorial.
Encálculo vectorial, la matriz jacobiana es la matriz de todos los derivados parciales de primer orden de una función vectorial o con valores escalares con respecto a otro vector. Supongamos que es una función de una n-tupla real a un m-tupla real. Esta función viene dada por funciones de los componentes de valor real m,. Las derivadas parciales de todas estas funciones pueden ser organizados en una matrizde m-por-n, la matriz jacobiana de, de la siguiente manera:
Esta matriz también se denota por y. Si son las coordenadas cartesianas ortogonales habituales, el ésima fila de esta matriz i corresponde a la pendiente de la i-ésima componente de la función Fi:. Tenga en cuenta que algunos libros definen el jacobiano como la transpuesta de la matriz dada anteriormente.
El determinante jacobiano esel determinante de la matriz jacobiana.
Estos conceptos son el nombre del matemático Carl Gustav Jacob Jacobi.
Matriz jacobiana
El jacobiano de una función describe la orientación de un plano tangente a la función en un punto dado. De esta manera, el jacobiano generaliza el gradiente de una función con valores escalares de múltiples variables que a su vez se generaliza la derivada de una funcióncon valores escalares de un escalar. En otras palabras, el Jacobiano de una función multivariable valor escalar es el gradiente y la de un valor escalar de la función escalar es simplemente su derivado. Del mismo modo, el Jacobiano también puede ser pensado como la descripción de la cantidad de "estiramiento" que impone una transformación. Por ejemplo, si se utiliza para transformar una imagen,el jacobiano de, describe lo mucho que la imagen en el barrio se estira en la x e y.
Si una función es diferenciable en un punto, su derivada está dada en coordenadas por el Jacobiano, sino una función no necesita ser diferenciables para el Jacobiano de ser definido, ya que sólo las derivadas parciales están obligados a existir.
La importancia de la jacobiana se encuentra en el hecho de que es unfactor en un término de la mejor aproximación lineal a una función diferenciable cerca de un punto dado. En este sentido, el Jacobiano es la derivada de una función multivariante.
Si p es un punto en Rn y F es diferenciable en p, entonces su derivada está dada por JF. En este caso, el mapa lineal descrito por JF es la mejor aproximación lineal de F cerca del punto p, en el sentido de que
para xcerca de p y donde o es el pequeño o-notación y es la distancia entre x y p.
Compare esto con una serie de Taylor de una función escalar de un argumento escalar, truncado al primer orden:
En un sentido, tanto el gradiente y la jacobiana son primero "derivados" - la primera la primera derivada de una función escalar de varias variables, este último la primera derivada de una función vectorial devarias variables. En general, el gradiente puede ser considerado como una versión especial de la jacobiana: es el Jacobiano de una función escalar de varias variables.
El Jacobiano de la pendiente tiene un nombre especial: la matriz de Hesse, que en cierto sentido es la "segunda derivada" de la función escalar de varias variables en cuestión.
INVERSO
De acuerdo con el teorema de la funcióninversa, la matriz inversa de la matriz jacobiana de una función invertible es la matriz jacobiana de la función inversa. Es decir, si el Jacobiano de la función F: Rn? Rn es continua y no singular en el punto P en Rn, entonces F es invertible cuando se está restringido a un cierto entorno de p y
UTILIZA
 Sistemas dinámicos
Considere la posibilidad de un sistema dinámico de la forma x '= F,...