Ingeniero Industrial

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Cap´ ıtulo 2

Cinem´tica en una dimensi´n a o
2.1. Posici´n, velocidad y aceleraci´n o o

Cinem´tica es la descripci´n del movimiento de un cuerpo sin considerar las causas que lo a o producen. M´s tarde, al estudiar las leyes de Newton, analizaremos el origen del movimiento. a Para simplificar la discusi´n, comenzaremos por estudiar el movimiento de objetos cuya o ubicaci´n quedadeterminada especificando la posici´n de un solo punto. Este tipo de objeto o o recibe el nombre de part´ ıcula. Contrariamente a lo que pudiera pensarse, no es necesario que los objetos sean peque˜os para que puedan ser considerados part´ n ıculas. Por ejemplo, cuando se estudia el movimiento de la tierra en torno al sol, la distancia relevante es la distancia Tierra–sol. En este caso, el tama˜o de laTierra no es importante, pudi´ndose n e tratar como una part´ ıcula ubicada en el centro de la tierra. El movimiento m´s simple de una part´ a ıcula se tiene cuando la posici´n de ´sta viene descrita o e por una unica coordenada; por ejemplo, el movimiento de una part´ ´ ıcula que se traslada a lo largo de una l´ ınea recta. (En el presente cap´ ıtulo nos restringiremos a este tipo demovimientos.) La elecci´n de un origen divide naturalmente a la recta en dos zonas. En o forma arbitraria llamamos a una de ellas el lado positivo y a la otra el lado negativo (ver figura 2.1).

Figura 2.1 La posici´n de una part´ o ıcula queda determinada dando simplemente un n´mero (la “cooru denada x”). La descripci´n de su movimiento es completa si conocemos la funci´n x(t) que o o indica la posici´nque ocupa en cada instante t. o La diferencia entre la coordenada de una part´ ıcula entre dos instantes t1 y t2 (con t2 > t1 ) se denomina desplazamiento:
Desplazamiento ≡ x2 − x1 ≡ ∆x .

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Cinem´tica en una dimensi´n a o

El desplazamiento es una cantidad que tiene signo. Si la coordenada x de la part´ ıcula se incrementa durante cierto intervalo de tiempo, entonces eldesplazamiento es positivo; si, por el contrario, decrece, el desplazamiento es negativo. Se define velocidad media de una part´ ıcula durante el intervalo [t1 , t2 ] como la raz´n entre o el desplazamiento y la duraci´n del intervalo de tiempo, o v(t1 , t2 ) = x(t2 ) − x(t1 ) . t2 − t1

En un gr´fico x(t) en funci´n de t, esta definici´n corresponde a la tangente del ´ngulo que a o o a forma la recta que une(x1 , t1 ) y (x2 , t2 ) con el eje del tiempo (ver figura 2.2).

Figura 2.2 La velocidad promedio entrega una informaci´n global sobre el movimiento que realiza una o part´ ıcula en un cierto intervalo de tiempo. Si se desea tener una informaci´n m´s precisa o a acerca de la velocidad durante el movimiento, es necesario subdividir el intervalo de tiempo original en subintervalos y calcular encada uno de ellos una velocidad media. Mientras m´s peque˜o es el tama˜o de esos subintervalos, m´s precisa es la informaci´n acerca de a n n a o las variaciones que experimenta la velocidad de la part´ ıcula mientras se desplaza. El valor que se mide para la velocidad media en un cierto intervalo de tiempo ε peque˜o, donde ε n es finito pero tan peque˜o como nosotros deseamos, se denomina velocidadinstant´nea. n a Para determinar la velocidad instant´nea de la part´ a ıcula en un instante t, se eval´a la u velocidad promedio durante un intervalo muy peque˜o que comienza en t y termina en n t + ε, donde ε es un incremento de tiempo infinitesimal (m´s adelante, al finalizar el c´lculo, a a haremos ε → 0). Expl´ ıcitamente: v(t, t + ε) = x(t + ε) − x(t) . ε

Al hacer ε → 0, se obtiene lavelocidad instant´nea de la part´ a ıcula en el instante t. Esta la denotaremos por v(t) o x(t). Se tiene ˙ v(t) = l´ ım x(t + ε) − x(t) = x(t) . ˙ ε (2.1)

ε→0

2.1 Posici´n, velocidad y aceleraci´n o o

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Este proceso de l´ ımite est´ ilustrado en la Figura 2.3. All´ se observa c´mo cambia el valor a ı o de la velocidad media de la part´ ıcula en un intervalo [t, t + ∆t] cuando es...