Ingeniero Industrial

Ecuación diferencial
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales:aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Ejemplos:
es una ecuación diferencial ordinaria, donde es la variable dependiente, la variable independiente e es la derivada de con respecto a .
La expresión es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita.
La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problemamatemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
Orden de la ecuación
Se llama orden de la ecuación al orden de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Ejemplo:
esuna ecuación diferencial de orden 2, ya que la derivada de mayor orden que aparece en ella es de ese orden.
Grado de la ecuación
Se llama grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. La ecuación debe tener una forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
Ni la función ni sus derivadasestán elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Ejemplos:
y' = y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.
y'' + y = 0 es una ecuacióndiferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones y = f(x) = acos(x) + bsin(x), con a y b reales.
y'' − y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones y = f(x) = acosh(x) + bsinh(x), con a y b reales.
Tipos de soluciones
Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada casocon las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. Hay tres tipos de soluciones:
1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita,etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debepasar necesariamente la solucion de la ecuacion diferencial, existe un unico valor de C,y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuacion, este recibira el nombre de solucion particular de la Ecuacion. en el punto P(X0,Y0) recibe el nombre de condicion Inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
3. Soluciónsingular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.


Usos
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos. En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

donde M es la matriz que describe la masa de la...