ingeniero mecanico

Elementos de la parábola.
Vamos a obtener analíticamente los elementos más característicos de la parábola que resulta de
2
representar una función cuadrática del tipo y = ax + bx + c

Obtención general del vértice y del eje de la parábola
En el apartado anterior vimos que las funciones cuadráticas
2
del tipo y = ax + bx, verifican que la primera coordenada del
vértice coincide con elpunto medio del segmento de extremos
0 y - b/a, es decir:

Y

5

4

p=−

3

V(p,h)

b
2a

2

p

1

V(p,0)

X

0

2
-

1
-

0

1

2

3

4

2

2

La gráfica de la función y = ax + bx + c es la misma gráfica que la de y = ax + bx trasladada
verticalmente c unidades.
Por tanto, la primera coordenada del vértice es x = −
La ecuación del eje de simetríaes x = −

b
.
2a

b
2a

Ejemplos
Calcular el vértice y el eje de simetría de las siguientes funciones
2

1) f(x) = x - 4 x + 3

xv = −

b
(−4)
2
=−
= 2 ⇒ yv = f(2) = 2 - 4 · 2 + 3 = -1
2a
2

Luego el vértice será V = (2,-1) y el eje de simetría x = 2
2

2) f(x) = x + 6x + 5

xv = −

b
6
2
= − = −3 ⇒ yv = f(-3) = (-3) + 6·(-3) + 5 = -4
2a
2

Luego el vérticeserá V = (-3,-4) y el eje de simetría x = -3

Puntos de corte con los ejes de coordenadas
• Los puntos de corte de la parábola con el eje OX son los puntos de coordenadas (x,y) cuando y = 0.
Las coordenadas de los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0), en los que el valor de x viene
2
dado las soluciones de la ecuación ax + bx + c = 0
• El punto de corte de la parábola con eleje OY es el punto de coordenadas (x,y) cuando x = 0
2

Si x = 0 ⇒ y = a · 0 + b · 0 + c = c.
Por tanto, las coordenadas del punto su corte con el eje OY es (0,c)
Ejemplos
Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones con los ejes

a) y = - x2 + 2x + 3
4

2

-x + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.

x=

y

5

• Los puntos de corte con el eje X :(-1,0),(3,0).

3

−2 ± 4 + 12 −2 ± 4
=
= 1± 2
−2
−2

2

• El punto de corte con el eje Y : (0,3)

1

Si x = 0 ⇒ y = 3.

x

0
-2

b) y = x2 - 4x + 4

5

• Puntos de corte con el eje X:

-1

0

1

2

3

4

y

4
2

Resolviendo la ecuación x – 4x + 4 = 0, se obtiene
como única solución x = 2, que nos proporciona un solo
punto de corte con el eje X :(2,0).

•Punto de corte con el eje Y: (0,4).

3

2

1

x

0
0

1

c) y = x2 - 2x + 3

7

2

3

4

y

6

• Puntos de corte con el eje X:

5

2

Si resolvemos la ecuación x - 2x + 3 = 0 obtenemos

4
3

que
No existe solución, por tanto, no tiene cortes con el eje
X.

• Punto de corte con el eje Y: (0,3)

2
1

x

0
-2

-1

0

1

2

3

4Gráfica de una parábola según sus elementos
Una segunda forma de representar la parábola sería:
1º.- Si a > 0, las ramas de la parábola están orientadas hacia arriba y el vértice es el mínimo absoluto de la
función.
Si a< 0, las ramas de la parábola están orientadas hacia abajo y el vértice es el máximo absoluto de la
función
2º.- Determinación de los puntos de corte con los ejes de coordenadas:
2Corte eje OX: Estos puntos son las soluciones de la ecuación ax + bx + c = 0
Corte eje OY: (0,c)
3º.- Determinación del vértice:
La abscisa del vértice es el punto medio del segmento determinado por los dos puntos de corte con el
eje X. Se demuestra que el valor de la abscisa es xv = − b

2a

El valor de la ordenada del vértice se determina sustituyendo en la función la x por xv
4º. -Obtención del eje de simetría: x = xv
5º. - Obtención de algunos puntos de la parábola:
Construyendo una tabla de valores se obtiene algunos puntos por donde pasa la parábola

Ejemplos
2

1.- Representar la función y = x – 4x + 3.
•

8

x – 4x + 3 = 0 → x = 3, x = 1
2

•
•

7
6

El eje de simetría es x = 2, ya que pasa por el punto medio
de los dos puntos de corte con el...