Ingeniero sistemas

VALOR ABSOLUTO
Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto
de un número representa la distancia del punto a al origen. Observe en el
dibujo que la distancia del3 al origen es 3 unidades, igualmente la distancia del
punto -3 al origen es 3. En notación, esto es − 3 = 3 . Las barras se leen como
el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas. En el valorabsoluto no importa
en que lado de la recta real está representado el número. Analíticamente
podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces
a = a y si está a laizquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces
a = −a . Esto lo escribimos en la siguiente definición

Definición.- El valor absoluto de un número real, x, se define como:
 x, si x ≥ 0
x =
− x, si x < 0


Veamos los siguientes ejemplos
Ejemplo 1
1 1
a.- =
2 2
1
1
1
= −(− ) = . Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la
2
2
2
deja igual y a unacantidad negativa le cambia el signo.
b.- −

c.- Si x>2 entonces x − 2 = x − 2 , pues x-2>0 y así usamos la primera parte de
la definición. Visto de otra manera a la expresión que le estamos tomandovalor
absoluto es de signo positivo y el valor absoluto lo deja igual.
d.- Si x 2

ó

2 x − 3 < −2

Este tipo de desigualdades dobles no pueden ser resueltas de la manera
sintetizada como enel caso a). En el lado izquierdo resolvemos la primera y
en el lado derecho resolvemos la segunda desigualdad, manteniendo el
conectivo “o”
2x − 3 > 2

ó

2 x − 3 < −2

Sumamos 3 a cada ladode la desigualdad

2x > 5
2x < 1
ó
Dividimos entre 2 ambos miembros
5
1
x>
x<
ó
2
2
Así las soluciones de la desigualdad 10 − 3 | 2 x − 3 |< 4 es el conjunto
1
5
(−∞, ) ∪ ( , ∞)
2
2Representados por

El siguiente ejemplo muestra algunas desigualdades en valor absoluto cuya
soluciones son triviales: R ó ∅ o un punto.
Ejemplo 3.- Resolver a) | x − 1 |≤ −3 b) 1− | 2 x − 3 |<...