Ingeniero Telecos

Índice
1

2. Análisis de sistemas
Procesado Digital de Señales
Ingeniería de Tecnologías y Servicios de Telecomunicación Escuela de Ingeniería y Arquitectura Universidad de Zaragoza 2

Transformada Z Definición y convergencia Propiedades Transformada inversa. Ejemplos Función de transferencia Definición e interpretación Estabilidad y causalidad Análisis de sistemas definidos por EDFRespuesta frecuencial Expresión módulo-argumental Contribución de ceros y polos Sistemas especiales Sistemas de fase mínima y sistemas paso-todo Sistemas de fase lineal
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Curso 2012/13
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2. Análisis de sistemas

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Transformada Z

Transformada Z

Definición y convergenciaÍndice
1

Transformada Z
Transformada directa (Análisis)
X (z ) =
∞
n=−∞

Transformada Z Definición y convergencia Propiedades Transformada inversa. Ejemplos Función de transferencia Definición e interpretación Estabilidad y causalidad Análisis de sistemas definidos por EDF Respuesta frecuencial Expresión módulo-argumental Contribución de ceros y polos Sistemas especiales Sistemas de fasemínima y sistemas paso-todo Sistemas de fase lineal
PDS (Univ. Zaragoza) 2. Análisis de sistemas Curso 2012/13 3 / 23

x [n]z −n

2

Es una función compleja de variable compleja z = re j ω La serie de potencias X (z ) lleva siempre asociada una región de convergencia o ROC

3

z ∈ ROC

⇐⇒

∞
n=−∞

|x [n]z | =

−n

∞
n=−∞

|x [n]|r −n < ∞

4

X (z ) es continua e infinitamentediferenciable en la ROC
En la transformada Z sólo se considera convergencia uniforme
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Transformada Z

Definición y convergencia

Transformada Z

Definición y convergencia

Región de convergencia

Relación con la Transformada de Fourier
La transformada de Fourier de una señal es un caso particular de su transformada Z,con z = e j ω (r = 1)

Polos: puntos del plano complejo z para los que X (z ) → ∞
Por definición, están siempre fuera de la ROC Delimitan la ROC

X (e ) =

jω

∞
n=−∞

x [n]e −j ωn = X (z )|z =e jω

La ROC es siempre una región conexa que tiene, en general, forma de anillo, a < |z | < b Casos particulares de ROC Secuencia de duración finita (FIR): todo C excepto quizá 0 o ∞ Secuenciacausal: |z | > a (exterior de círculo) Secuencia anticausal : |z | < b (interior de círculo)

. . . siempre y cuando {z : |z | = 1} ∈ ROC En este caso la transformada de Fourier es una función continua e infinitamente derivable Y la señal x [n] es absolutamente sumable

La transformada Z en z = re j ω , se puede ver también como un caso particular de transformada de Fourier, la de la señal x[n]r n

X (z ) =

∞
n=−∞

x [n](re j ω )−n =

∞
n=−∞

(x [n]r n )e −j ωn = F {x [n]r n }
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2. Análisis de sistemas

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Transformada Z

Propiedades

Transformada Z

Propiedades

Propiedades de la Transformada Z

Pares conocidos

Linealidad Desplazamientox [n − m] temporal Convolución x [n] ∗ y [n] n Escalado en z z0 x [n] Derivación en z Reflexión en n Conjugación Valor inicial

Señal ax [n] + by [n]

Transformada aX (z ) + bY (z )

z −m X (z )

ROC ⊆ (RX ∩ RY ) RX ± {0, ∞}

Señal δ[n]

Transformada 1

ROC

δ[n − m]
a n u[n]

z −m
1 1 − az −1 1 1 − az −1 1 − r cos(ω0 )z −1 1 − 2r cos(ω0 )z −1 + r 2 z −2 r sen(ω0 )z −1 1 − 2rcos(ω0 )z −1 + r 2 z −2

X (z )Y (z ) ⊆ (RX ∩ RY ) X (z /z0 ) |z0 |RX dX (z ) nx [n] −z RX ± {0, ∞} dz −1 ) x [−n] X (z 1/RX ∗ [n] ∗ (z ∗ ) x X RX x [n] = 0, n < 0 ⇒ lim X (z ) = x [0]
z →∞

C |z | > 0 (m > 0) |z | < ∞ (m < 0) |z | > |a | |z | < |a | |z | > r |z | > r

−a n u[−n − 1]
r n cos(ω0 n)u[n] r n sen(ω0 n)u[n]

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