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FORMA CANÓNICA DE JORDAN

INTRODUCCIÓN

Una matriz cuadrada A, n x n, se dice diagonalizable si existe una base de Cn (es decir, n vectores linealmente independientes) formada exclusivamente con vectores propios de A.
Es inmediato que A es diagonalizable si y solo si la unión de bases de sus subespacios propios es una base de Cn, es decir, si y solo si:
d 1 + d2 + ... + dk = nEl nombre diagonalizable proviene del hecho de que estas matrices tienen forma canónica de Jordan que es una matriz diagonal.

Si A es diagonal, es decir si todos sus términos fuera de la diagonal principal son nulos, entonces la base canónica esta formada por vectores propios de A, y resulta, por definición que A es diagonalizable.

Ejemplo:

A = [pic] det(A -[pic]I) = [pic] =[pic]

A es 2 x 2 y tiene dos valores propios diferentes, entonces es diagonalizable. En este caso k1 = 1 y k2 = 1 (órdenes) y d1 = 1 y d2 = 1 (dimensiones de los subespacios propios).
Hallemos una base de C2 formada por vectores propios de A.

[pic]

Un grado de libertad [pic] d1 = 1. Eligiendo, por ejemplo x2 = 1, se tiene una base de S1 (subespacio propio de valorpropio 3), formada por el vector:
v1=[pic]

[pic]
Un grado de libertad [pic] d2 = 1. Eligiendo, por ejemplo x2 = 1, se tiene una base de S2 (subespacio propio de valor propio 2), formada por el vector:
[pic]
Como v1 y v2 son linealmente independientes forman una base de C2 integrada con vectores propios de A.

La triangulación por semejanza de aquellas matrices que no sondiagonalizables la podemos hacer mediante el método de Jordan. En todas ellas usaremos la forma canónica de Jordan, que es una matriz diagonal por bloques, cuyos bloques diagonales son bloques elementales de Jordan.

Dicho método es una herramienta de aplicación a otros tipos de computación, como la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, mediante la denominadaexponencial de una matriz.

FORMA CANÓNICA DE JORDAN

EXISTEN DISTINTAS FORMAS DE TRIANGULARIZAR POR SEMEJANZA UNA MATRIZ A. NOSOTROS VAMOS A ESTUDIAR LA LLAMADA FORMA CANÓNICA DE JORDAN, QUE SE REPRESENTA POR J, Y ES UNA MATRIZ DIAGONAL POR BLOQUES, CUYOS BLOQUES DIAGONALES SON BLOQUES ELEMENTALES DE JORDAN.
Es decir, resolveremos el problema de reducir por semejanza una matriz cuadrada A deorden n, con n autovalores (repetidos o no), a la forma canónica de Jordan, mediante el teorema fundamental de las formas canónicas de Jordan, que dice esencialmente que toda matriz cuadrada, mediante un cambio de base, se puede llevar a una forma canónica de Jordan:
Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces existe una matriz J que es una forma canónica de Jordan, y una matriz P invertible,ambas n x n con términos complejos, tales que:
J = P-1.A.P, ó equivalentemente, A = P.J.P-1
La matriz J se llama forma canónica de Jordan de A. La matriz P se llama matriz de cambio de base de Jordan.

[pic]

Una forma canónica de Jordan tiene como valores propios a los números de la diagonal, con orden (k) igual a la cantidad de veces en que esta repetido en la diagonal, es decir,igual al tamaño del suprabloque respectivo, y dimensión del subespacio propio (d) igual a la cantidad de bloques que forma el respectivo suprabloque.
La matriz J no es en general diagonal, sino que lo será cuando A sea diagonalizable, pero si es diagonal por bloques Ji, los denominados bloques de Jordan.
Una matriz cuadrada n x n es una forma canónica de Jordan si está formada por:
-Uno o mas suprabloques de Jordan, ubicados diagonalmente
- Ceros en los restantes términos de la matriz

[pic]

Cada bloque está asociado a un autovalor λi. A su vez los bloques son matrices diagonales de subbloques Jij :

[pic]

y cada subbloque es una matriz cuadrada que consta en la diagonal del autovalor λi y por debajo de la diagonal de unos. El resto son ceros.

[pic]...