Ingeniero

Formulario de Prec´lculo.
a
1.

1
• Sea a = 0, entonces, a−1 = a es el Inverso
Multiplicativo o Rec´
ıproco de a:
−1
−1
aa = a a = 1

Los N´ meros.
u

Al multiplicar a con su rec´
ıproco a−1 obtenemos
la identidad multiplicativa.
3) Ley Distributiva:
a(b + c) = ab + ac y (a + b)c = ac + bc

1. Clasificaci´n de los n´ meros.
o
u
Los n´meros se clasifican como:
u
a)Naturales: N = {1, 2, 3, . . . ∞}

b) Los n´meros reales tienen un orden.
u
Comenzamos con cinco relaciones de orden
definidas sobre los reales.

b) Enteros:

Z = {−∞ . . . , −2, −1, 0, 1, 2 . . . ∞}
= {0, ±1, ±2, ±3, . . . ± ∞}
Z+ = {0, 1, 2, 3, . . . ∞}

1)
2)
3)
4)
5)

c) Racionales: Q = { a : a, b ∈ Z y b = 0}
b
Propiedades de los racionales:
1) Si a se escribe en forma decimal,entonces, su
b
5
parte decimal es finita. 10 = 0.5
2) Si a se escribe en forma decimal, entonces, su
b
parte decimal es peri´dica. 10 = 3.3
o
3

relaci´n
o
relaci´n
o
relaci´n
o
relaci´n
o
relaci´n
o

<
>
≤
≥
=

menor que.
mayor que.
menor o igual que.
mayor o igual que.
de igualdad.

Decimos que:
1) a < b y b > a significan lo mismo, es decir, b − a
es un n´meropositivo y distinto de cero.
u
2) a ≤ b y b ≥ a significan lo mismo, es decir, b − a
es un n´mero positivo o es cero.
u
• LEY DE TRICOTOM´ Si a y b son n´meros reales,
IA:
u
entonces: a < b o a = b o a > b
• Para las cinco relaciones de orden se cumplen las
siguientes propiedades:

d) Irracionales: I = {x : x es un n´mero con parte
u
decimal infinita y no peri´dica }
o
e) Reales: Serepresentan con R y es cualquiera de
n´meros anteriores. Se cumple: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R,
u
I ⊂ R y Q ∩ I = ∅. R = Q ∪ I.
R
Q
Z
N

La
La
La
La
La

1) Transitiva:
Si a < b y
Si a > b y
Si a ≤ b y
Si a ≥ b y
Si a = b y

I

2. Propiedades de los n´ meros reales.
u
a) Los reales son un Campo. Porque se cumplen las
propiedades:

2) Aditiva:
Si a < b
Si a > b
Si a ≤ b
Si a ≥ bSi a = b

1) Bajo la suma:
• La suma es conmutativa:
a+b=b+a
• La suma es asociativa:
a + (b + c) = (a + b) + c

Sean a, b, c ∈ R, entonces:
b < c ⇒ a < c.
b > c ⇒ a > c.
b ≤ c ⇒ a ≤ c.
b ≥ c ⇒ a ≥ c.
b = c ⇒ a = c.

Sean a, b, c ∈ R, entonces:
⇒ a + c < b + c.
⇒ a + c > b + c.
⇒ a + c ≤ b + c.
⇒ a + c ≥ b + c.
⇒ a + c = b + c.

3) Multiplicativa:
Para la Igualdad.
Paracualquier c ∈ R:
Si a = b ⇒ ac = bc.

• La Identidad Aditiva o Neutro Aditivo
es el cero:
a+0=0+a=a
• −a es el Inverso Aditivo de a:
a + (−a) = −a + a = 0

Para las Desigualdades.
Caso 1. Sea c > 0, entonces:
Si a < b ⇒ ac < bc.
Si a > b ⇒ ac > bc.
Si a ≤ b ⇒ ac ≤ bc.
Si a ≥ b ⇒ ac ≥ bc.

Al sumar a con su inverso aditivo −a se obtiene
el neutro aditivo.
´
2) Bajo la Multiplicacion:• La multiplicaci´n es conmutativa:
o
ab = ba

Caso 2.
Si a < b
Si a > b
Si a ≤ b
Si a ≥ b

• La multiplicaci´n es asociativa:
o
a(bc) = (ab)c
• La Identidad Multiplicativa es el 1:
a1 = 1a = a
1

Sea c < 0, entonces:
⇒ ac > bc.
⇒ ac < bc.
⇒ ac ≥ bc.
⇒ ac ≤ bc.

3. Valor Absoluto. Para cualquier n´mero real a, se define
u
como:
a,
si a ≥ 0,
|a| =
−a, si a < 0.

8.Factores Notables.
a) Diferencia de Cuadrados: x2 − y 2 = (x + y)(x − y)

b) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 )

c) Diferencia de Cubos: x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 )

d) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 2xy +y 2 = (x y)2

Sean a, b ∈ R, se cumple que:

e) x4 − y 4 = (x − y) (x + y) x2 + y 2

a) | − a| = |a|

f ) x5 − y 5 = (x − y) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4b) |ab| = |a||b|

g) x5 + y 5 = (x + y) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4

a
|a|
c)
=
b
|b|

h) x6 −y 6 = (x − y) (x + y) x2 + xy + y 2
i) x4 + x2 y 2 + y 4 = x2 + xy + y 2

d) |an | = |a|n
e) |a + b| ≤ |a| + |b|

j) x4 + 4 y 4 = x2 − 2 xy + 2 y 2

Desigualdad del Tri´ngulo.
a

f ) Si |a| < b

⇒
⇒

a>b

a < −b

o

b) 0 < a2 < b2

b) loga

d)

a
b

g) a...