ingeniero

1
´
MA-1001 CALCULO I

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

LIC. LEINER V´
IQUEZ GARC´
IA

´
APUNTES PARA EL CURSO DE CALCULO I

L´
IMITES DE FUNCIONES
´
DEFINICION:
Decimos que el l´
ımite de f (x) cuando “x” tiende a “c”, es igual a “L” si a medida que los valores de “x” se
aproximan a “c”, ya sea por la derecha o por la izquierda, entonces los valores de f (x) se aproximan a “L”.Esto se escribe l´ f (x) = L lo que tambi´n se puede escribir como f (x) → L cuando x → c.
ım
e
x→c

Veamos un ejemplo utilizando una tabla de valores. Consideremos la funci´n f (x) =
o

x2 − 4
, ¿a qu´ valor se
e
x−2

aproxima f (x) si x se aproxima a 2?
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ··

···································

2

x

1,5

1,91,99

1,999

2,001

2,01

2,1

2,5

y

3,5

3,9

3,99

3,999

4,001

4,01

4,1

4,5

···································

···································

4

Lo que en la gr´fica se ver´ as´
a
ıa ı:

Observe que aunque la funci´n no est´ definida para x = 2 (restricci´n), para valores muy cercanos a 2, tanto
o
a
o
a la izquierda (valores menores que2) como a la derecha (valores mayores que 2), las im´genes se aproximan a 4.
a
ımite lateral
N´tese que el 4 no es imagen de 2. Esto se representa mediante los l´
o
ımites laterales l´ − f (x) = 4 (l´
ım
x→2

izquierdo) y l´ + f (x) = 4 (l´
ım
ımite lateral derecho). Al coincidir ambos, decimos que 4 es el l´
ımite de f (x) cuando
x→2

x tiende a 2, lo que simb´licamente serepresenta as´
o
ı:
l´ f (x) = 4
ım

x→2

o tambi´n
e

x2 − 4
=4
x→2 x − 2
l´
ım

2
EXISTENCIA DEL L´
IMITE
Si f es una funci´n y si “c” y “L” son n´meros reales, decimos que l´ f (x) = L si y s´lo si:
o
u
ım
o
x→c

l´ f (x) = l´ f (x) = L
ım
ım

x→c−

x→c+

EJEMPLO.


2x + 3, si

Considere la funci´n f (x) =
o
5, si
 2

x + 1, si

x < −1
e
x = −1¿Qu´ sucede cuando los valores de x se aproximan a −1?
x > −1

-1

···································

···································

x

−1,2

−1,1

−1,01

−1,001

5

−0,999

−0,99

−0,9

−0,8

y

0,6

0,8

0,98

0,998

5

1,998

1,98

1,81

1,64

···································

?

···································

Observe que cuandolos valores de x se aproximan a −1 por la izquierda (valores menores que −1), las im´genes
a
se aproximan a 1. Lo anterior se puede representar como un l´
ımite lateral izquierdo l´ − f (x) = 1. A la vez,
ım
x→−1

cuando los valores de x se aproximan a −1 por la derecha (valores mayores que −1), las im´genes se aproximan a
a
2. Esto se representa con el l´
ımite lateral derecho l´ + f(x) = 2. Lo anterior se cumple independientemente de
ım
x→−1

que la imagen de −1 sea 5, pues f (−1) = 5.
Sin embargo, al ser diferentes los l´
ımites laterales, no podemos decir que l´ f (x) exista. As´ para que un
ım
ı,
x→−1

l´
ımite exista, los l´
ımites laterales deben ser iguales.

3
Ejemplo. De acuerdo con los datos de la figura en la que aparece representada la funci´n f(x), determine (si existe)
o
el valor de cada uno de los l´
ımites que se le piden.

l´ f (x)
ım

x→3−

l´ f (x)
ım

x→−1−

l´ f (x)
ım

x→0−

l´ f (x)
ım

x→2−

l´ f (x)
ım

x→−2−

l´ f (x)
ım

x→5−

l´ f (x)
ım

x→−3−

l´ f (x)
ım

x→4−

l´ f (x)
ım

x→3+

l´ f (x)
ım

x→−1+

l´ f (x)
ım

x→0+

l´ f (x)
ım

x→2+

l´ f (x)
ım

x→−2+l´ f (x)
ım

x→5+

l´ f (x)
ım

x→−3+

l´ f (x)
ım

x→4+

l´ f (x)
ım

x→3

l´ f (x)
ım

x→−1

l´ f (x)
ım

x→0

l´ f (x)
ım

x→2

l´ f (x)
ım

x→−2

l´ f (x)
ım

x→5

l´ f (x)
ım

x→−3

l´ f (x)
ım

x→4

4

PROPIEDADES DE LOS L´
IMITES
Si c, L y M son n´meros reales tales que l´ f (x) = L, l´ g(x) = M , k es una constante real...