Ingeniero

FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER

INTRODUCCION
El lector ha estudiado ya, en el cálculo infinitesimal, los vectores en el espacio de dos y tres dimensiones, y sabe que dos vectores nocero son ortogonales cuando su producto punto, o producto interno, es cero. Al dejar ese nivel, las nociones de vectores, ortogonalidad y producto interno pierden, con frecuencia, su interpretacióngeométrica. Estos conceptos se han generalizado es muy común imaginar que una función es un vector. En consecuencia, podemos decir que dos funciones distintas son ortogonales cuando su producto interno escero. En este caso, veremos que el producto interno de los vectores es una integral definida.
Otro concepto que se vio en cálculo infinitesimal fue el desarrollo de una función f como serie infinitade potencias de x a, llamada serie de potencias. En este capí¬tulo aprenderemos a desarrollar una función f en términos de un conjunto infinito de funciones ortogonales.

FUNCIONES ORTOGONALESSupongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional. El producto interno (u, v) de los vectores, que también se escribe u.v, posee las propiedades siguientes:
i) (u, v) = (v, u)
ii) (ku,v) = k(u, v), donde k es un escalar
iii) (u, u)= 0, si u= 0,y (u,u) > 0 si u ≠ 0
iv) (u + v, w) = (u, w) + (v, w).
Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe tener lasmismas propiedades.

DEFINICIÓN Producto interno
El producto interno de dos funciones ƒ1 y ƒ2 en un intervalo [a, b] es el número


DEFINICION Funciones ortogonales
Dos funciones ƒ1 y ƒ2 sonortogonales en un intervalo [a, b] si



EJEMPLO 1 Funciones ortogonales
Las funciones ƒ1 (x) = x2 y ƒ2 (x) = x3 son ortogonales en el intervalo [ 1, 1] porque





EJERCICIOS
En losproblemas 1 a 6, demuestre que las funciones respectivas son ortogonales en el intervalo indicado.










Serie de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge...