ingeniero

Matemáticas
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RESUMEN TEORÍA:
Sucesiones y Series

Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria

Ingeniería de Telecomunicación

Teoría: Sucesiones y Series

Fundamentos Matemáticos I

SUCESIONES EN »

Prerrequisitos:

−

Desigualdades de números reales

−

Conceptos generales de funciones: dominio, cotas, crecimiento, …−

Conocimiento de las propiedades de las funciones elementales: polinómicas,
racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y del valor
absoluto.

−

Cálculo de límites, indeterminaciones y regla de L’Hopital

−

Cálculo de derivadas y estudio del crecimiento de una función

−

Métodos de demostración: inducción y reducción al absurdo.

Objetivos:
1. Tener claros lossiguientes conceptos:
•

Qué es una sucesión

•

Sucesión

acotada,

sucesión

monótona,

sucesión

convergente/divergente/oscilante
•

Relación entre acotación, monotonía y convergencia de una sucesión

•

Propiedades de los límites de sucesiones

•

Órdenes de magnitud de una sucesión:
o

Sucesiones del mismo orden

o

Sucesiones equivalentes

o

Sucesión deorden superior/inferior

2. Saber hacer:
•

2

Estudiar la convergencia de una sucesión

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Teoría: Sucesiones y Series

Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I

o

Técnicas de límites

o

Regla del sándwich o Teorema del encaje

o

El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un
infinitésimo

o

Sucesionesrecursivas

•

Determinar el orden de magnitud de una sucesión

•

Comparar el orden de infinitud de una sucesión

DEFINICIONES BÁSICAS

Dos sucesiones {an } y {bn } son iguales si an = bn para todo n ∈ » .
Una sucesión admite una representación en la recta real y en el plano:

Sucesiones monótonas
Definiciones:
A) Una sucesión

( an )

se denomina monótona creciente siverifica:
a1 ≤ a2 ≤ a 3 ≤ … ≤ an ≤ …

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

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Teoría: Sucesiones y Series

Fundamentos Matemáticos I

esto es si se cumple
Si verifica an < an +1

an ≤ an + 1

∀n ∈ »

∀n ∈ » , se llama estrictamente creciente.

B) Análogamente, una sucesión

( an )

se denomina monótona decreciente si se

cumple
an ≥ an + 1Si verifica an > an +1

∀n ∈ »

∀n ∈ » , se llama estrictamente decreciente.

C) Una sucesión se denomina monótona si es monótona creciente o monótona
decreciente.

Applet Laboratorio Sucesiones
Ejemplos :
•

La sucesión -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es monótona.

•

La sucesión de término general an =

•

La sucesión de término general an = n

(−1)n
n

tampocoes monótona.
es monótona creciente y también

estrictamente creciente.
•

La sucesión –1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es monótona creciente, pero no es
estrictamente creciente.

•

La sucesión de término general an = −n 2
también estrictamente decreciente.

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Profesora: Elena Álvarez Sáiz

es monótona decreciente y es

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Teoría: Sucesiones y SeriesFundamentos Matemáticos I

•

La sucesión

1 1 1 1 1 1 1 1 1
, , , , , , , , , … es monótona decreciente, sin embargo
2 2 3 4 4 5 6 6 7

no es estrictamente decreciente.

Nota práctica:
−

En algunos casos, para probar que una sucesión es monótona creciente
resulta útil probar que an +1 − an ≥ 0

∀n ∈ »

y para sucesiones de

términos positivos también se puede demostrarprobando que se cumple:
−
−

an

≥1

∀n ∈ »

Análogamente, para las sucesiones monótonas decrecientes se probará que
an + 1 − a n ≤ 0

∀n ∈ » , o bien, si es de términos positivos, que verifica

−
−

an + 1

an + 1
an

≤1

∀n ∈ »

Teniendo en cuenta que una sucesión es una aplicación de los números
naturales en los reales, para ciertas sucesiones, se puede utilizar...