Ingeniero

Integrales indefinidas.

1. Sustitución simple: para casos en que la integral no se puede resolver directamente escogemos una variable para remplazar por u para así desarrollar más fácil laintegral. Luego dejar en función de x.
2. Integración por partes: hacemos un cambio de variable, es decir escogemos un u que debemos derivar quedando du y un dv el cual siempre debe tener dx y lointegramos y queda v. Luego de esto aplicamos la siguiente fórmula:
udv=uv-vdu
Si es necesario volver aplicar integración por partes o sustitución simple.

3. Integración de funcionestrigonométricas de seno y coseno:

* Caso 1: sea m o n impar y naturales.
Digamos n sea impar, n = 2k + 1, k pertenece a los naturales positivos.senmxcosnxdx=senm(x)cos2k+1(x)=senmxcos2kxcosxdx
senm(x)(cos2xkcosxdx
Luego usando la identidad sen2x+cos2x=1
senm(x)(1-sen2(x)kcos⁡(x)dx
Esta integral se resuelve por sustitución z = sen(x)dz = cos(x)dx

* Caso 2: Ambas potencias pares.
Entonces m = 2k1, n = 2k2 , k1 y k2 ∈ Z+
senm(x)cosn(x)dx=(sen2x)k(cos2(x))kdx
Para este caso usamos : cos2x=1+cos⁡(2x)2 ; sen2x=1-cos⁡(2x)2Remplazamos y aplicamos casos anteriores hasta que salga y dejarla en términos de x.

4. Sustituciones trigonométricas: aplicamos para integrales de la forma :
(a2-u2)ndu ; (a2+u2)mdu;(u2-a2)ndu
Donde n es racional, a es una cte.

EXPRESIÓN | SUSTITUCIÓN |
a2-u2 | u = a sen(Ɵ) o u = a cos(Ɵ) |
a2+u2 | u = a tan(Ɵ) o u = a cotg(Ɵ) |
(u2-a2)m | u = a sec(Ɵ) o u = a csc(Ɵ) |Para este método de integración se debe tener en cuenta las siguientes expresiones:
1.- sen2(x)+cos2(x)=1
2.- 1+cos2x=sec2(x)
3.- 1+cotg2x=csc2(x)
Hacemos u a la variable que lleva x y aplicamos lasustitución correspondiente para cada caso. Luego derivamos la sustitución y remplazamos en la integral y la trabajamos para llegar a una integral más simple hasta resolverla.
También aplicar el...