ingeniero

Lectura complementaria Nº 2.
Los elementos de Euclides.
De todos los libros alguna vez escritos, de temas no
religiosos, sin duda el más leído ha sido “Elementos” de
Euclides. Escrito hacia el 300 AC, se ha mantenido como el
libro de texto de geometría más exitoso de la historia.
Incluso hoy en día algunos institutos secundarios lo siguen
usando como referencia. Ciertamente, se le hanhecho muchas
correcciones pero, ¿qué libro de un autor individual ha
tenido una circulación generalizada durante 2300 años?
Claramente es el trabajo de un genio.
Primero observemos que los Elementos es justamente un
libro de texto. No fue el primer libro de texto sobre
geometría, se sabe que hubo otros antes. Simplemente, los
Elementos mostró ser tan superior a sus predecesores que
todos ellosdesaparecieron y sus contenidos están hoy
perdidos para nosotros. (Es malo. Hubiera sido bueno saber
qué conocimientos había antes de Euclides).
Euclides, sin embargo, nunca pretendió con sus Elementos
hacer un compendio de toda la geometría que se conocía en
su tiempo. Algunos teoremas que se conocían en la época de
Euclides no aparecen en sus Elementos. Se supone que el
mismo Euclidesescribió un libro sobre cónicas (parábolas,
elipses e hipérbolas) pero no las menciona en los
Elementos. Euclides usó un total de diez axiomas divididos
en cinco postulados y cinco nociones comunes. La idea era
que los postulados eran peculiares de la geometría,
mientras que las nociones comunes eran válidas para toda la
matemática. Hoy en día no haríamos tal distinción.
Los postulados,algunos de los cuales están expresados en
forma modernizada, son éstos:
1) Una línea recta puede ser dibujada pasando por
dos puntos cualesquiera,
2) Un segmento de recta puede ser construido en
cualquier dirección a lo largo de una línea recta,
3) Un círculo puede ser dibujado siempre que estén
dados el centro y el radio,
4) Todos los ángulos rectos son iguales entre sí,
5) Si dos líneas (l1y l2 en la figura) son tales
que una tercera línea (m) las intercepta de modo que
la suma de los dos ángulos interiores (A y B) en un
mismo semiplano de borde m es menor que dos ángulos
rectos, entonces las dos líneas, si se prolongan
suficientemente, se cortarán en el mismo semiplano de
borde m en el que la suma de los ángulos interiores
es menor que dos ángulos rectos.
m
A

B

l1l2
B

B

Las cinco nociones comunes son:
1) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre
sí,
2) Si cantidades iguales son sumadas a cantidades
iguales las sumas son iguales,
3) Si cantidades iguales son restadas a cantidades
iguales, las restas son iguales,
4) Las figuras que coinciden entre sí son iguales,
5) El todo es mayor que las partes.
La construcción de un edificio tanmagnífico cobre la
base de una cantidad tan reducida de axiomas es sin duda un
logro del mayor orden. Es cierto que
los axiomas no son
suficientes, esto es, que Euclides usó mucho más de lo que
creyó su intuición y los dibujos que realizó (un tema que
discutiremos más adelante). Aun así, con los aditamentos
necesarios, la estructura fundamental y el contenido de los
Elementos han quedadoincambiados.
El primer postulado asegura, no sólo la existencia de
líneas rectas, sino que podemos disponer de todas las
líneas rectas que necesitemos. Además, parece estar
implicada la unicidad, es decir que, dados dos puntos, hay
una sola línea que pasa por ellos. Euclides aceptó esto
tácitamente.
El segundo postulado implica (aunque no lo afirma
explícitamente) que dos líneas rectasdistintas no pueden
compartir un mismo segmento; esto es, que la línea recta
que resulta de prolongar un segmento es única. Note,
también, que esto parece implicar que el segmento puede ser
prolongado tanto como queramos, sin límite de extensión.
Otra vez Euclides asume esto en sus demostraciones.
El tercero es también un axioma de existencia. Nos provee
de círculos de todos los tamaños en...