ingeniero

Definición 1: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:
 [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)]  x o bien
 donde x0 = a, xn = b y  x  .
(la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi1, xi] con i = 1, .., n)
Definición 2: Si f es una función continua sobre elintervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:
 [f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)]  x
 donde x0  a, xn  b y  x  .
(la función se evalúa en el extremo derecho de cada subintervalo [xi1, xi] con i  1, .., n)
Definición 3: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indicaes el número:
 [f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)]  x
 donde x0  a, xn  b y  x  .
(la función se evalúa en cualquier punto ti de cada subintervalo [xi1, xi] con i  1, .., n)
El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de integración .
Notación y terminología:

Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que see valúa la integral.
La continuidad asegura que los límites en las tres definiciones existen y dan el mismo valor por eso podemos asegurar que el valor de es el mismo independientemente de cómo elijamos los valores de x para evaluar la función (extremo derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada subintervalo). Enunciamos entonces una definición más general.
Definición de integraldefinida: Sea f una función continua definida para a  x  b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho  x  . Sean x0  a y xn  b y además x0, x1, ...., xn los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto ti en estos subintervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-ésimo subintervalo [xi1, xi] con i  1, .., n.
Entonces la integral definida de f de a a b esel número  .
La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando lagráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.
Observación: La suma que aparece en la definición de integral definida se llama suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía además subintervalos de distinta longitud.
Definición de las sumas de Riemann: Sea f una funcióndefinida en el intervalo cerrado [a, b] y sea una división (partición) arbitraria de dicho intervalo a  x0  x1  x2  x3  .........  xn1  xn  b donde  xi indica la amplitud o longitud del i-ésimo subintervalo. Si ti es cualquier punto del i-ésimo subintervalo la suma , xi1  ti  xi se llama suma de Riemann de f asociada a la partición .
Si bien la integral definida había sido definida yusada con mucha anterioridad a la época de Riemann él generalizó el concepto para poder incluir una clase de funciones más amplia. En la definición de una suma de Riemann, la única restricción sobre la función f es que esté definida en el intervalo [a, b]. (antes suponíamos que f era no negativa debido a que estábamos tratando con el área bajo una curva).
Una página interesante para ampliar sobre lassumas de Riemann y visualizar animaciones resultahttp://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/
Ejemplo: Halle

Como f(x)  x3 es continua en el intervalo [2, 1] sabemos que es integrable.
Dividimos el intervalo en n subintervalos de igual longitud y para el cálculo de la integral consideramos el extremo derecho de cada subintervalo ti  ....