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1. Introducción a las ecuaciones diferenciales.


Definición 1

Se llama ecuación diferencial a aquella ecuación que contiene derivadas.

Si la ecuación sólo tiene una sola variable independiente recibe el nombre de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Si la ecuación contiene más de una variable independiente, apareciendo as∂≥ sus derivadas parciales, recibe el nombre de ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales.

Definición 2
Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la mayor derivada que aparezca
en ella.

Definición 3
Se llama grado de una ecuación diferencial al grado de la derivada de mayor orden que
aparezca en ella.

Ejemplo:
de primer orden y de primer grado.
+ 5 = 0 EDO de segundo orden y primergrado.

Definición 4
Se llama solución general de una ecuación diferencial a toda relación entre las variables,
libres de derivadas, que satisface dicha ecuación diferencial.
Por lo común, la solución general de una ecuación diferencial de orden n tiene n constantes. Integrar o resolver una ecuación diferencial es hallar su solución general.

Definición 5
Se llama solución particular deuna ecuación diferencial a aquella solución que se obtiene
a partir de la solución general, dando valores a las constantes.

Dada la ecuación diferencial y’=f(x;y), se dice que está escrita en forma estándar y, puesto que
Y’=dy/dx se puede expresar también de la forma

M (x;y)dx+N(x;y)dy = 0

llamada forma diferencial de la ecuación diferencial.




2. Generalidades sobre lassoluciones.
Resolver una ecuación ́ diferencial consiste en obtener al menos una función
u(x) que la verifique. Como se parte de una ecuación que contiene derivadas de
y(x)y se trata de llegar a una función u(x) de carácter finito, emplearemos la palabra integrar en vez de resolver

A toda función u(x) que satisfaga una E.D.F(x;y;y0;¢¢¢;y(n)) = 0se le llama solución particular o curva integral dedicha ecuación , y puede venir dada también en forma implícita U(x,y) = 0

El conjunto de las soluciones particulares de una E.D. viene expresado por la ecuación de una familia de curvas n-paramétricas (lo veremos m ́as adelante). A la ecuación de esta familia se le llama solución general o integral general de la Ecuación ́ Diferencial. Dando valores a los parámetros o constantes se obtienenlas soluciones particulares. Sin embargo, puede haber soluciones particulares , que no está ́en incluıdas en la solución ́ general para ningún valor de la constante y se denominan soluciones singulares

No toda ecuación diferencial admite soluciones, y además en el caso de tenerlas, no tiene por qué ser única
Ejemplos
Y 02+ 1 = 0 No tiene solución
(y00)2+ 10y4= 0 Tiene solución únicay02°1 = 0 Tiene solución No es única

3. Familias de Curvas.
Para ello, basta derivar respecto de x tantas veces como constantes haya y despejar las constantes

Ejemplo

Hallar la E.D. cuyas soluciones son las circunferencias cuyos centros están
sobre el eje OX y son tangentes a las bisectrices de los cuadrantes primero y cuarto.






















4. TrayectoriaOrtogonal.
Dada una ecuación de una familia de curvas un paramétricas F(x;y;C) = 0, decimos que una curva∞ es una trayectoria ortogonal si forma un ́ángulo recto con cada una de las curvas de la familia.































APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERÍA CIVIL.
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
LILIANA MARCELA MOJICA SEPULVEDALas ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas y sociales. A partir de la formulación matemática de distintas situaciones se describen procesos reales aproximados.

Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería civil, una de las múltiples aplicaciones de...