ingeniero

CAPITULO 1
ELEMENTOS DE
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRIA
1.1. Elementos de Geometría
1.1.1.
Sistema de coordenadas rectangulares
1.1.2.
Sistema de coordenadas polares
1.1.3.
Relaciones geométricas entre ambos sistemas
1.1.4.
La recta
1.1.5.
El círculo
1.1.6.
Cálculo de áreas
1.1.6.1. Área de figuras elementales
1.1.6.2. Área de un polígono por sus coordenadas
1.1.6.3. Áreas desuperficies irregulares
1.1.7.
Volumen
1.1.7.1.Volumen de sólidos elementales
1.1.7.2.Volumen entre secciones transversales
1.1.7.2.1. Método de las áreas medias
1.1.7.2.2. Método del prismoide
1.2. Elementos de Trigonometría
1.2.1. Ángulos
1.2.2. Sistemas de medidas angulares
1.2.2.1. Sistema sexagesimal
1.2.2.2. Sistema sexadecimal
1.2.2.3. Sistema centesimal
1.2.2.4. Sistema analítico1.2.2.5. Relaciones entre los diferentes sistemas
1.2.3.
Relaciones trigonométricas fundamentales
1.2.3.1. Triángulo rectángulo
1.2.3.2. Triángulo oblicuo
Problemas Propuestos

1-1
1-1
1-2
1-3
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1-17
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1-22
1-24
1-24
1-31
1-35
1-35
1-36
1-36
1-37
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Elementos de Geometría

CAPITULO1

1.1 ELEMENTOS DE GEOMETRIA
1.1.1 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
Dos líneas rectas que se corten en ángulo
recto constituyen un sistema de ejes de coordenadas
rectangulares, conocido también como sistema de
Coordenadas Cartesianas; nombre que se le da en
honor al matemático francés Descartes, iniciador de
la geometría analítica.
En la intersección de las rectas se tiene elorigen
O de coordenadas. Al eje x-x se le denomina eje de
las abscisas y al eje y-y eje de las ordenadas.
En la figura 1-1, el punto "P" queda
perfectamente definido por la distancia medida
sobre cada uno de los ejes desde el origen hasta la
proyección del punto "P"; así pues, la distancia "x",
medida desde el eje de las ordenadas hasta el punto "P", se llama abscisa del punto, y la distancia"y", medida desde el eje de las abscisas hasta el punto "P", se denomina ordenada del punto.
Figura 1-1. Sistema de Coordenadas
Rectangulares.

En Topografía, el eje de las ordenadas se asume como eje Norte-Sur,y el de las abscisas como
eje Este-Oeste; de esta manera, a la ordenada del punto "P" se le denomina NORTE del punto y a
la Abscisa, ESTE del punto.
Por las definiciones dadas, lascoordenadas de un punto se anotan de la siguiente manera:
P(Np;Ep)
en donde:
Np = Coordenada norte del punto P.
Ep = Coordenada este del punto P.
La figura 1-2.a representa los cuadrantes utilizados en trigonometría y geometría analítica.
Nótese que, en este caso, el sentido positivo de rotaciones es el antihorario, y que el origen de
rotaciones coincide con el eje X-X.

1-1

LeonardoCasanova M.

Elementos de Geometría

Figura 1-2 Cuadrantes

La figura 1-2.b representa los cuadrantes utilizados en topografía. En este caso, el sentido
positivo de rotaciones es el horario, y el origen de rotaciones coincide con la dirección norte.
Los cuadrantes topográficos se denominan de la siguiente manera:
CUADRANTE
I
II
III
IV

NOMBRE
Norte – Este
Sur - Este
Sur - OesteNorte – Oeste

NE
SE
SO
NO

SIGNOS
++
-+
-+-

1.1.2 SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
La posición de un punto "P2" con respecto a un punto "P1", también queda definida
mediante el ángulo ϕ entre el eje de referencia y la alineación de P1P2, y la distancia D, según se
observa en la figura 1-3.
El ángulo ϕ y la distancia D, constituyen
COORDENADAS POLARES del punto P2.

las

En formaanáloga a la expresada para el sistema de
coordenadas rectangulares, las coordenadas de un punto se
indican de la siguiente manera:

Figura 1.3 Sistema de coordenadas polares

P(ϕp;Dp)
1-2

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Elementos de Geometría

La dirección de una alineación cualquiera se puede definir por el ángulo horizontal, (medido
en sentido horario), que dicha alineación forma con...