Ingeniero

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

REGLA DE L’HOPITAL
Cuando se resolvían límites se habló de las formas indeterminadas al calcular sus valores. Éstas pueden ser las siguientes:En este tema se tratará el cómo quitar la indeterminación en estos casos y lograr encontrar el valor del límite ya sea si existe o no. Primero se verá un teorema del célebre matemático francésAugustin Cauchy. TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY

0 ∞ , , 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 00 , ∞ 0 ,1∞ 0 ∞

g continuas en un intervalo cerrado ⎡ a , b ⎤ y ⎣ ⎦ diferenciables en el intervalo abierto ( a , b ) , ysea
Sean f

y

Entonces existe un número c ∈ ( a , b ) tal que:

g '( x ) ≠ 0

∀ x ∈ ( a, b ) .

f (b ) − f (a ) f ' (c ) = g ( b ) − g (a ) g ' (c )

TEOREMA. REGLA DE L’HOPITAL Supónganselas funciones f

punto de un intervalo abierto ( a, b ) que contiene al valor " c "

y

g diferenciables en cada

excepto posiblemente en este valor; y sea g ' ( x ) ≠ 0 para toda

x ≠ c enel intervalo. Sea también L que denota tanto un valor
real o bien +∞ o −∞ , y supóngase que g x es una forma ( )
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

f ( x)

indeterminada en " c " . Luego, si lim g 'x = L , x →c ( )

f '( x )

2

entonces

lim
x →c

g( x)

f ( x)

= L.

De acuerdo con este teorema, el límite del cociente de dos funciones es igual al límite del cociente de susderivadas. Y si en el límite de este cociente se vuelve a presentar una indeterminación de las formas
0 ∞ o , se repite nuevamente la 0 ∞

Regla de L’Hopital hasta que el resultado esté determinado ono exista el límite.
f (x) Prueba. Sea g x una forma indeterminada en el valor de ( )

" c"

f ( x) lim real. Lo que se desea probar es que x→c g x = L . Primero se ( ) presentarán las funcionesF y G de la siguiente forma:

f '( x ) 0 lim del tipo y supóngase que x→c g ' x = L , donde " L " es un valor 0 ( )

⎧ f ( x) F ( x) = ⎨ ⎩0
x →c

si si

x≠c x=c

;

⎧g ( x ) G( x) = ⎨...