Ingeniero

Cap´ ıtulo 1 C´lculo en varias variables a
1.1 L´ ımites de funciones de varias variables

El manejo de l´ ımites para funciones de varias variables es a la vez muy importante, y dif´ ıcil. Es importante para el material que presentaremos, pues todo se desarrollar´ alrededor del concepto de diferenciabilidad, y en a dicho concepto jugar´ un papel importante el l´ a ımite de una magnitud quedepende de varias variables (el residuo). Es dif´ ıcil, porque hay una gran diferencia entre los l´ ımites de funciones de una variable (ya de por s´ concepto sutil) y los de varias variables. ıun Para verificar la existencia ´ no de l´ o ımites de funciones de una variable, s´lo necesitamos analizar dos posibilidades : a qu´ (l´ o e ımite) tiende la funci´n o por la izquierda y por la derecha delpunto en cuesti´n. En cambio, para o estudiar un l´ ımite de una funci´n de dos variables ´ m´s, en principio est´n o o a a involucradas infinitas maneras de acercarse al punto en cuesti´n : todas las o posibles trayectorias que nos llevan a ´l. e Ejemplo 1.1–1. Sea f (x, y) = y/x. Con domino {(x, y) ∈ R2 | y = 0}. Estudiemos el l´ ımite (si existe) cuando (x, y) → (0, 0). Una forma de acercarse alorigen es a trav´s de una recta de pendiente m que pasa por el e origen: y = mx, y hacemos x → 0. Lo que ocurre es que
x→0

lim f (x, mx) = lim

x 1 1 = lim = , x→0 mx x→0 m m 1

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´ CAP´ ITULO 1. CALCULO EN VARIAS VARIABLES

de manera que el valor de l´ ımite depende de m, la pendiente de la recta. Si nos acercamos al origen por la par´bola y = x2 , nos queda a lim f (x, x2 ) = lim x1 = lim , x→0 x2 x→0 x

x→0

el cual, como sabemos, no existe. Consideremos por ultimo la trayectoria ´ 2 x = y , tenemos que lim f (y 2 , y) = lim y2 = lim y = 0. y→0 y→0 y

y→0

¿Cu´l es la conclusi´n de todo esto? Por supuesto, el l´ a o ımite no existe. Cuando nos acercamos al origen por diferentes trayectorias, obtenemos diferentes l´ ımites e incluso el l´ ımite puede no existir a lolargo de ciertas trayectorias. El que el l´ ımite exista equivale a que se obtiene un mismo valor al aproximarse por cualquier trayectoria. Ejemplo 1.1–2. Sea f (x, y) = sin(x) sin(y) . xy

Queremos ver si lim(x,y)→(0,0) f (x, y) existe. Hagamos algunas obervaciones sobre el domiminio D de f . Primeramente la funci´n no est´ definida en (0, 0) y para analizar el l´ o a ımite es necesarioestudiar valores de f (x, y) en puntos (x, y) arbitrariamente cercanos a (0, 0) sin ser (0, 0). T´cnicamente (0, 0) debe ser punto de acumulaci´n del dominio e o D, vgr. para cualquier δ > 0 debe suceder que B ′ (0, 0; δ) ∩ D = ∅ donde la bola con centro en (0, 0) y radio δ se define como Bδ (0, 0) = {(x, y) | x2 + y 2 < δ}

′ y la notaci´n Bδ (0, 0) significa que se excluye el centro. Tomemos porejemplo o ′ D = B1 (0, 0). Es claro entonces que (0, 0) es punto se acumulaci´n de D. o La siguiente es una tabla de valores (x, y) tomados al azar y los correspondientes valores de f (x, y)

1.1. L´ IMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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x y x2 + y 2 f (x, y) 0.624545 0.929048 1.11946 0.807257 0.538409 0.61957 0.820823 0.892609 0.0235492 0.772784 0.773143 0.903314 0.387152 0.800026 0.8887790.874456 0.0740555 0.369479 0.376827 0.976509 0.381591 0.544371 0.664794 0.928417 0.167903 0.287027 0.332529 0.981698 0.180206 0.815687 0.835356 0.887916 1.16951 0.791529 0.712596 0.927343 0.459414 0.866261 0.980545 0.848927 0.695937 0.998536 1.21713 0.775578 0.380652 0.53238 0.654465 0.930569 0.0713921 0.0694885 0.0996267 0.998347 0.91281 1.24201 0.767895 0.842243 0.047843 0.296704 0.3005370.985016 Si seleccionamos los valores de f (x, y) con (x, y) lo m´s cercano a (0, 0), es a decir con norma m´s peque˜a, tenemos a n y x2 + y 2 f (x, y) x 0.0740555 0.369479 0.376827 0.976509 0.167903 0.287027 0.332529 0.981698 0.0713921 0.0694885 0.0996267 0.998347 0.047843 0.296704 0.300537 0.985016 Comprobamos que los valores de f (x, y) parecen tender a 1 Definici´n 1. Sea f : D ⊂ Rn → Rm ,...