Ingeniero

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 6. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

EJERCICIOS RESUELTOS DE MATRICES
2 -1 ⎞
⎛0 1 ⎞
⎛1 3 5⎞
1. Dadas las matrices A = ⎛
⎝ 3 2 ⎠, B = ⎝ 4 -2 ⎠ y C = ⎝ 2 -1 1 ⎠, calcular si es posible:
a) A + B

c) CB y CtBb) AC

d) (2A+B)C

Solución
2 -1 ⎞
⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 2+0 -1+1 ⎞ ⎛ 2 0 ⎞
a) A + B = ⎛
⎝ 3 2 ⎠ + ⎝ 4 -2 ⎠ = ⎝ 3+4 2+(-2) ⎠ = ⎝ 7 0 ⎠
2 -1 ⎞ ⎛ 1 3 5 ⎞
⎛ 2.1+(-1)2 2.3+(-1)(-1)
b) AC = ⎛
⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 2 -1 1 ⎠ = ⎝ 3.1+2.2
3.3+2(-1)

2.5+(-1)1 ⎞
07 9⎞
=⎛
⎝ 7 7 17 ⎠
3.5+2.1 ⎠

c) El producto CB no se puede efectuar porque el número de columnas de C y el número de filas de
B no coinciden.En cambio, el producto CtB si que se puede realizar porque el número de columnas de Ct y el
número de filas de B es el mismo.
En primer lugar se calcula la matriz traspuesta de C intercambiando sus filas y sus columnas,
t
⎛1 2 ⎞
1 3 5⎞
= ⎜ 3 -1 ⎟
Ct = ⎛
⎝ 2 -1 1 ⎠ ⎝
5 1⎠

1.1+2(-2) ⎞
⎛ 1 2 ⎞ 0 1 ⎞ ⎛ 1.0+2.4
⎛ 8 -3 ⎞
Así, CtB = ⎜ 3 -1 ⎟ ⎛
= ⎜ 3.0+(-1)4 3.1+(-1)(-2) ⎟ = ⎜ -4 5 ⎟
⎝ 51 ⎠ ⎝ 4 -2 ⎠ ⎝ 5.0+1.4
⎝4 3⎠
5.1+1(-2) ⎠
d) Para calcular (2A+B)C se realiza en primer lugar la operación del paréntesis:
2.2 2(-1) ⎞
⎛0 1 ⎞
⎛ 4 -2 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 4+0 (-2)+1 ⎞ ⎛ 4 -1 ⎞
2A+B = ⎛
⎝ 2.3 2.2 ⎠ + ⎝ 4 -2 ⎠ = ⎝ 6 4 ⎠ + ⎝ 4 -2 ⎠ = ⎝ 6+4 4+(-2) ⎠ = ⎝ 10 2 ⎠
4 -1 ⎞ ⎛ 1 3 5 ⎞
⎛ 4.1+(-1)2 4.3+(-1)(-1)
Así, (2A+B)C = ⎛
⎝ 10 2 ⎠ ⎝ 2 -1 1 ⎠ = ⎝ 10.1+2.2 10.3+2(-1)

4.5+(-1)1 ⎞
=10.5+2.1 ⎠

2 13 19 ⎞
=⎛
⎝ 14 28 52 ⎠
2 -1 ⎞
⎛0 1 ⎞
⎛1 3 5⎞
2. Dadas las matrices A = ⎛
⎝ 3 2 ⎠, B = ⎝ 4 -2 ⎠ y C = ⎝ 2 -1 1 ⎠, calcular si es posible:
a) ABC

1
b) Ct ⎛ B-A⎞
⎝2
⎠

c) A2, B2 y C2

Solución
a) Para calcular ABC, se calcula primero el producto AB y el resultado se multiplica a la derecha por
la matriz C.
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CURSO BÁSICODE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 6. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

2 -1 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞
⎛ 2.0+(-1)4 2.1+(-1)(-2) ⎞ = ⎛ -4 4 ⎞
AB = ⎛
⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 4 -2 ⎠ = ⎝ 3.0+2.4
⎝ 8 -1 ⎠
3.1+2(-2) ⎠
-4 4 ⎞ ⎛ 1 3 5 ⎞
⎛ (-4).1+4.2 (-4)3+4(-1)
Así, (AB)C = ⎛
⎝ 8 -1 ⎠ ⎝ 2 -11 ⎠ = ⎝ 8.1+(-1)2 8.3+(-1)(-1)

(-4).5+4.1 ⎞
=
8.5+(-1)1 ⎠

4 -16 -16 ⎞
=⎛
⎝ 6 25 39 ⎠
Por la propiedad asociativa del producto de matrices, el resultado sería el mismo si primero se
calculase BC y el resultado se multiplicara a la izquierda por A.
b) En primer lugar se calcula la matriz traspuesta de C intercambiando sus filas y sus columnas,
t
12
⎛ 1 3 5 ⎞ = ⎛ 3 -1 ⎞
C =⎝
⎜
⎟2 -1 1 ⎠
⎝5 1 ⎠
t

1
A continuación se calcula B-A,
2
1
B-A =
2

⎛ 1.0
2
⎜1
⎝ 2.4

1
.1
2
1
(-2)
2

⎞ ⎛2
⎟-⎝ 3
⎠

⎛0 1 ⎞
⎛ 0-2 1-(-1) ⎞ ⎛ -2 3 ⎞
-1 ⎞
2 -1 ⎞
2 ⎟-⎛
2
2⎟
=⎜
=⎜
⎟=⎜
⎝3 2 ⎠
2⎠
⎝ 2 -1 ⎠
⎝ 2-3 -1-2 ⎠ ⎝ -1 -3 ⎠

3⎞
12
⎛
⎞ = ⎛ 3 -1 ⎞ ⎜ -2 2 ⎟ =
Así, C B-A
⎝2
⎠ ⎜ 5 1 ⎟ ⎝ -1 -3 ⎠
⎝
⎠
t⎛1

⎛
⎜ 3(-2)+(-1)(-1)
⎝ 5(-2)+1(-1)
1(-2)+2(-1)3
1 +2(-3)
2
3
3 +(-1)(-3)
2
3
5 +1(-3)
2

⎞⎛
⎟=⎜
⎠⎝

-9
2
15
-5
2
9
-11
2
-4

⎞
⎟
⎠

2 -1 ⎞ ⎛ 2 -1 ⎞
⎛ 2.2+(-1)3 2(-1)+(-1)2 ⎞ = ⎛ 1 -4 ⎞
c) A2 = AA = ⎛
⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠ = ⎝ 3.2+2.3
⎝ 12 1 ⎠
3(-1)+2.2 ⎠
0 1 ⎞⎛ 0 1 ⎞
0.1+1(-2) ⎞
⎛ 0.0+1.4
⎛ 4 -2 ⎞
B2 = BB = ⎛
⎝ 4 -2 ⎠ ⎝ 4 -2 ⎠ = ⎝ 4.0+(-2)4 4.1+(-2)(-2) ⎠ = ⎝ -8 8 ⎠
No se puede calcular C2 = CC, ya que Cno es una matriz cuadrada.

⎛ 2 6 3⎞
⎛1 1 1⎞
3. Dadas las matrices A = ⎜ 0 9 5 ⎟ y B = ⎜ 2 -4 2 ⎟, se pide:
⎝ -6 2 1 ⎠
⎝3 5 7⎠
a) Calcular AB y BA, ¿coinciden los resultados?.
b) Calcular (A + B)2 y A2 + 2AB + B2, ¿coinciden los resultados?.
c) Calcular A2 - B2 y (A + B)(A – B), ¿coinciden los resultados?.

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