Ingeniero

Un cilindro de longitud in…nita y de radio a tiene una densidad volumétrica de carga eléctrica uniforme y está sumergido
en un medio dieléctrico in…nito.
i) Encuentra lapolarización
ii) La densidad volumétrica de carga de polarización
iii) La densidad super…cial de carga de polarización
Solución:
Por la simetría del problema, tenemos que elvector de desplazamiento eléctrico debe ser radial (en coordenadas
cilíndricas) y constante sobre la super…cie de cualquier cilindro cuyo eje coincida con el eje del cilindroreal cargado. Por
tanto,Rusando la ley de Gauss generalizada
R
~
~
D dS = (Qlibre )V
S(V )

tenemos que fuera del cilindro,es decir, en el dieléctrico (r > a),
D2 rL =0 a2 L
así que
b
a2 0 r
~
D (r) =
2 r
en coordenadas cilíndricas.
Si el dieléctrico es isotrópico y lineal
~
D (r)
~
E (r) =
"
y por tanto
a2 0 r
b
~
E (r) =2" r
El vector de polarización está dado por la relación constitutiva
~
~
~
P = D "0 E
que sustituyendo los valores de los campos nos da
a2 0 r
b
b
a2 0 r
~
P ="0
2 r
2" r
ó sea
2
a 0
1 r
b
"0 r
b a2 0
~
P =
=
1
1
2
" r
2
K r
o en términos de K,
a2 0 K 1 r
b
~
P =
2
K
r
La densidad volumétrica de carga depolarización es
~
r P
P =
que en coordenadas cilíndricas se escribe
1 @ (rPr ) 1 @P
@Pz
~
div P =
+
+
P =
r @r
r @
@z
Como
a2 0 K 1 1
Pr =
;
P = 0;
y
Pz = 02
K
r
1 @ a2 0 K 1
~
div P =
P =
r @r
2
K
Si el dieléctrico es homogéneo, es decir, K es una constante
P =0
pero si no lo es, necesitamos conocer la dependencia deK (o de ") con la posición.
La densidad super…cial de carga de polarización es
~ b
p =P n
como
n= r
b
b
se tiene
a2 0 K 1 1
a
1 K
= 0
p =
2
K
a
2
K

1