Ingeniero


Problemas sobre túneles
Problema 1.
En un túnel de radio 5 m (R). se quiere conocer los esfuerzos: radial, tangencial y cortante; en el perímetro del túnel, a10m. Y 15 m. del centro de laexcavación y a 30° con la horizontal. Las características de la excavación son las siguientes:
𝛾=2 𝑡𝑜𝑛/𝑚3 Peso específico del material}
𝜈=0.25=1/4 Coeficiente de Poisson
Φ=23°Angulo de fricción interna del material
C= 1 ton/m 3 Cohesión del material
H= 10 m Profundidad a la cual se encuentra el techo del túnel


Solución:

30°Calculo del coeficiente de reparto de tensiones: 𝐾=𝜈1−𝜈=13=0.33

Calculo de la tensión vertical inicial: 𝜎𝑜=𝛾𝐻=2𝑡𝑜𝑛/𝑚3 (10 𝑚)=20𝑡𝑜𝑛/𝑚2
Calculo del esfuerzo: radial, tangencial y cortante en elperímetro de la excavación: 𝝈𝒓=𝝈𝒐 𝟏+𝑲𝟐∗(𝟏−𝑹𝟐𝒓𝟐)−𝝈𝒐 ∗𝟏−𝑲𝟐(𝟏−𝟒𝑹𝟐𝒓𝟐+𝟑𝑹𝟒𝒓𝟒)𝐜𝐨𝐬𝟐𝜽
𝝈𝜽=𝝈𝒐 ∗𝟏+𝑲𝟐∗(𝟏+𝑹𝟐𝒓𝟐)+𝝈𝒐 ∗𝟏−𝑲𝟐(𝟏+𝟑𝑹𝟒𝒓𝟒)𝐜𝐨𝐬𝟐𝜽 𝝉𝒓𝜽 =𝝈𝒐 ∗𝟏−𝑲𝟐(𝟏+𝟐𝑹𝟐𝒓𝟐−𝟑𝑹𝟒𝒓𝟒)𝐬𝐞𝐧𝟐𝜽
Para el perímetro de laexcavación las ecuaciones anteriores se simplifican: 𝜎𝑟=0
𝜎𝜃=𝜎𝑜∗[(1+𝐾)+2∗(1−𝐾)𝑐𝑜𝑠2𝜃]=20 ton/m2 [(1+1/3)+2(1-1/3) cos60°]= 40 ton/m2 𝜏𝑟𝜃 =0

Para r=2R=10 m: σr=9,37 ton/m2 σθ=20,62 ton/m2 τrθ=7,58 ton/m2

Para r=3R=15 m: σr=9,87 ton/m2 σθ=18,27 ton/m2 τrθ =6,84 ton/m2

Problema 2.
Con los datos del problema anterior calcule los esfuerzos: radial, tangencial y cortante; en elperímetro del túnel, a 10 m. Y 15 m. Del centro de la excavación y a 30° con la horizontal si el coeficiente de reparto de tensiones es de (K=1).
Calcule el pico de presión:
a) En la clave y solera dela excavación (𝜃= ±𝜋2 ).
b) En los arranques de la clave (𝜃= 0).


Solución:
Calculo de esfuerzos el perímetro de la excavación: 𝜎𝑟=0
𝜎𝜃=𝜎𝑜∗[(1+𝐾)+2∗(1−𝐾)𝑐𝑜𝑠2𝜃]=20 ton/m2 [(1+1/3)+2(1-1/3)cos60°]= 40 ton/m2 𝜏𝑟𝜃 =0


Calculo de esfuerzos para r=2R=10 m:
Se puede utilizar las siguientes formulas ya que el coeficiente de reparto de tensiones es la unidad (1): 𝜎𝑟=𝜎𝑜∗(1−𝑅2𝑟2)=15...