ingeniero

MATEMÁTICA BÁSICA II
INTEGRAL INDEFINIDA
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN:
A) INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN: Se suele utilizar cuando en el integrando se puede notar
la presencia de un función y suderivada, o alguna expresión parecida a ella. La idea de esta regla
es la de reemplazar un integral relativamente complicado por uno más sencillo. El reto principal en
la aplicación de la regla sesustitución es pensar en una sustitución apropiada; ya que conlleva algo
de arte. Si una primera conjetura no funciona, no pierda tiempo; intente otra.
Ejemplo 01:
Determine: J =  (x3  4x2  1)6 (3x2 8x)dx
Como veras, parece un integral bastante complicado; sin embargo nota que en el integrando
aparece: x3 + 4x2 + 1; y también: 3x2 + 8x… ¿Te das cuenta que la segunda expresión es la
derivadade la primera?...muy bien, entonces hacemos el siguiente cambio: (mucha atención)
Sea: x3 + 4x2 + 1 = u → tomando diferenciales: (3x2 + 8x)dx = du
Hacemos los cambios en la expresión: J =  (x3 4x 2  1)6 (3x 2  8x)dx   u6du 
Regresando a “x”: J =

u7
k
7

(x3  4x 2  1)7
k
7

Ejemplo 02:
Determine: J =  (x3  x2  x  3)5 (3x2  2x  1)dx
Como puedes notar, aparece: x3+ x2 – x + 3; y también: 3x2 + 2x – 1: su derivada!!!
Entonces, aprovechando la idea anterior, hacemos: x 3 + x2 – x + 3 = u
Tomando diferenciales: (3x2 + 2x – 1)dx = du
Al hacer los cambios: J = (x3  x2  x  3)5 (3x2  2x  1)dx   u5 du
Integrando: J =

5
 u du 

Regresando a “x”: J =

u6
k
6

(x3  x 2  x  3)6
k
6

Ejemplo 03:
Determine: J =



5x  3dx

Eneste caso, no es tan obvio el cambio, pero nota la cantidad sub radical: 5x + 3; su derivada es: 5
Que no aparece, pero observa: 5x + 3 = u → tomando diferenciales: 5dx = du

→ dx =

du
5Reemplazando en el integral: J =  5x  3dx   u
1

3

1

du 1
1 1
  udu   u 2 du
5 5
5

3

1 u2
1 2u 2
2u 2
Integrando: J = (
)k  (
)k J
k
5 1 1
5 3
15
2...