Ingeniero

PUCV

Ingeniería Comercial MAT 1150 Profesora: Cristina Valenzuela

Continuidad Definición1: Una función f es continua en c lim x c f x  f c

Dom f si y solo si se sumple que:

Observación1: La definción anterior exige que se cumplan las tres condiciones siguientes: 1. f c esta definida, en otras palabras es la imagen real del valor c o bien c Dom f 2. lim x c f x existe, lo que obliga aque los limites laterales sean iguales y sea un número real. 3. lim x c f x  f c , esta condicón es similar a la anterior, la diferencia es que se requiere, además de lo anterior, que ese números real sea la imagen del valor real c. Por otro lado cabe mencionar que si no se cumple una de las condiciones anteriores se dice que f x no es continua en c, o bien se dice que tiene ahí unadiscontinuidad.

Hasta este punto estamos hablando de continuidad o dicontinuidad en valor x  c, pero podemos genelarilar este concepto, ahora para un conjunto. Definición2: Una función f es continua en A lim x c f x  f c c A Dom f si y solo si se sumple que:

Observación2: La definción anterior exige que A observación1

Dom f debido al punto uno, de la

Las funciones más interesantes y másutilizadas son aquellas que son continuas en su dominio máximo, como por ejemplo; Funciones polinomicas, funciones exponenciales, funciones logaritmicas, función valor absoluto, función lineal, funciones racionales. Ejemplo 1: La función racional f x  Observemos la grafica. x con x 0, Ý es continua en A  0, Ý

y 2.0
1.5 1.0 0.5 0.0 0 1 2 3 4

x

5

Queda de ejercicio al lector verificar lostres puntos de la observación1

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1 x

Ejemplo 2: La función radical f x  Observemos la grafica.

con x

IR

0 es continua en A  IR

0

y

2 1

-4

-2 -1 -2

2

4

x

Queda de ejercicio al lector verificar los tres puntos de la observación1 Ejemplo 3: La función definida por intervalos f x  es continuaen A  IR Observemos la grafica. x1 , x x 1
2

0

, x0

con x

IR

y

2

-2

-1 -2

1

x

2

Queda de ejercicio al lector indicar cual de los tres puntos de la observación1 no se cumple para x  0. Ejemplo 4: La función definida por intervalos f x  x
2

, x

0

x 1 , x  0

con x

IR

es continua en A  IR

0 . Observemos la grafica.

y4
2

-2-1

0

1

x

2

Queda de ejercicio al lector indicar cual de los tres puntos de la observación1 no se cumple para x  0.

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Ejercicio resuelto: Dada función definida por intervalos fx  Ax  5 x
2

, x1 1

3x  4 , x

con x

IR. ¿Para qué valor constante A la siguiente

función es continua para todo xreal? Observemos primero que la función f esta definida de la siguiente forma: El dominio de la función son todos los reales, pero esta dividido en dos intervalos, el primer intervalo es Ý, 1 donde la función esta definida como una recta con pendiente real no determinada A y a 5 como el coeficiente de posición o corte con el eje Y. El segundo intervalo es 1, Ý donde la función esta definida como unafunción cuadrática, (convexa con vertice 3 , 7 ) 2 4 Las funciones que componen a f (una recta y una cuadrática) son continua en todos los reales (esto es cumplen con la definición 1), por lo que podemos calcular los siguientes limites. Como f es una recta a la izquierda de x  1 calculamos el limite lateral. lim x 1 f x  lim x 1 Ax  5 lim x 1 f x  A  5 Como f es una recta a la derecha de x 1 calculamos el limite lateral. lim x 1  f x  lim x 1  x 2 3x  4  2 lim x 1  f x  2 Por el punto 2 de la observación 1 se tiene que: lim x 1 f x  lim x 1  f x A5  2 A 3 Luego, para A  3 Se obtiene la función fx  3x  5 x2 , x1 1 3x  4 , x que es continua como se observa en la grafica.

y

20 15 10 5

-4

-2

0

2

4

x

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