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TEORÍA DE CONJUNTOS

DEFINICIÓN DE CONJUNTO:
Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.
Cuando un elemento x1 pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x1 En caso de que un elemento y1 y nopertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y1 
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:

a) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.
b) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entrellaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es:
A=x | Px = x1,x2,x3,…,xn
que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es verdadera, como x1, x2, x3, etc.

NOTA: La notación P(x) no representa un producto, es una condición que deben satisfacer los elementos para pertenecer a un conjunto.

c)Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.
NOTA: En el caso particular de que un conjunto tenga un sólo elemento numérico, a menos de que se haga la distinción, no representa el número de elementos que posee el conjunto.

d) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común paralos elementos.

Ejemplo 1: Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y por diagrama de Venn.

Solución.
Por extensión: V = {a, e, i, o, u}
a e
i o
u
Venn
Por comprensión: V = {x | x es una vocal}
Por diagrama de Venn:

Ejemplo 2: Expresar de las tres formas al conjunto de los planetasdel sistema solar.

Solución.
Por extensión: P = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón}
Por comprensión: P = { x | x es un planeta del sistema solar}
* Mercurio
*Venus *Tierra
*Marte *Saturno *Urano *Neptuno *Júpiter *Plutón

P

Por diagrama de Venn:

Si cada elemento de un conjuntoA es también un elemento del conjunto B, se dice que A es un subconjunto de B. La notación A B significa que A está incluido en B y se lee: “A es subconjunto de B” o “A está contenido en B”.
Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B, se dice que A no es subconjunto de B. En este caso la notación A  B; significa que A no es un subconjunto de B.
Gráficamente, estoes:

B B B
A A
A
A   
A   

En los ejemplos anteriores, si F = {a, e, o} es el conjunto de las vocales fuertes y S = {Mercurio, Venus} es el conjunto de planetas que no poseen satélites, entonces se cumple que:
F  V y que S  P. De la misma forma, nótese como: F  P, S  V, F  S y S F.

La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee. Se denota por medio de los símbolos ŋ o # .
De los conjuntos anteriores: ŋ (V)= 5, ŋ (F) = 3, ŋ (P) = 9 y ŋ(S) = 2.

CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS
* Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por: ф o bien por {}. El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que essubconjunto de cualquier conjunto.
Ejemplos:
f = {x | x son los dinosaurios que viven en la actualidad}
{ }= {x | x son los hombres mayores de 300 años}
f = { x | x son números positivos menores que cero}

* Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por U. Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.
Ejemplos:
U = {x | x son...