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APLICACIONES A LA ECONOMIA Y LOS SEGUROS.
Los economistas sostienen que algunas veces es más fácil obtener los datos que reflejan los incrementos ocasionados en los costos e ingresos, obtenidos con la producción y venta adicional de un determinado artículo, es por esta razón que no es posible determinar directamente las funciones costo e ingreso total a las que corresponden dichos datos, perose pueden conocer la funciones costo e ingreso marginal a las que corresponden, de esta manera se pueden determinar las funciones costo e ingreso total de la siguiente manera.
Costo marginal. Si la función costo marginal está dada por Q 0 (x) = d Q(x) dx ; entonces, el costo total será la integral con respecto a x de la función costo marginal, es decir, Z Q 0 (x)dx = Q(x) + c: Para obtener unaúnica función costo total, al integrar dicha función, debe especificarse una condición inicial, la cual es el costo fijo.
EJEMPLO:
Una agencia de seguros sabe que la función costo marginal por producir x seguros de gastos médicos es Q0 (x) = 32x + 92 donde x es el número de unidades producidas y Q0(x) es el costo marginal dado en pesos. Encontrar la función costo total, si el costo fijo es de$10.
Solución:
Q(x) = Z (32x + 92) dx = 16x 2 + 92x +c: Sustituyendo la condición inicial Q(0) = 10 ; se obtiene que c = 10; entonces, la función de costo total es: Q(x) = 16x 2 +92x + 10.
Ingreso marginal.
El ingreso marginal que depende de la cantidad demandada, es la derivada del ingreso total con respecto a x; es decir, d R(x) dx = R 0 (x); por tanto, la función ingreso total es laintegral, con respecto a x; de la función ingreso marginal, es decir, R(x) = Z R 0 (x)dx; y dado que, Z R 0 (x)dx = R(x) +c; se tiene que especificar una condición inicial para obtener una única función ingreso total. Para evaluar la constante de integración puede usarse la condición inicial de que el ingreso es nulo cuando la cantidad de demanda es nula.
EJEMPLO:
La aseguradora del ejemploanterior fija un precio de $680 por unidad de venta de un seguro de gastos médicos. De aquí se tiene que la función del ingreso marginal por ventas es R 0 (x) = 680 pesos. Para obtener la función ingreso total por ventas R(x), se integra R(x) = Z 680dx = 680x + c:
Como R(0) = 0; entonces, la función ingreso total por la venta de x seguros de gastos médicos es R(x) = 680x


Beneficio (Ingresos contracostos).
La integración se utiliza en administración y economía para determinar el beneficio total o las ganancias netas totales. En general, se maximiza el beneficio (suponiendo libre competencia) cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal.
El beneficio total se determina integrando la diferencia entre el ingreso marginal y el costo marginal, desde cero hasta la cantidad x ¤ parala cual el beneficio es máximo, es decir: G(x) = Z 0 x ? (R 0 (x) ¡ Q 0 (x))dx.
EJEMPLO:
Determinar el beneficio total de la producción y venta de los seguros de gastos médicos de los ejemplos anteriores.
Solución:
La función ingreso marginal es R0 (x) = 680 y la función costo marginal es Q0 (x) = 32x+92; igualando el costo marginal con el ingreso marginal se tiene que cuando se producey se vende x = 18:375 seguros de gastos médicos la ganancia será máxima, en este caso se considera x = 18 ya que no se producen partes de seguros. Como la ganancia es igual al ingreso por ventas menos el costo de producción, entonces las ganancias máximas ocurren cuando G(x) = Z 18 0 ¡ R 0 (x)¡ Q 0 (x) ¢ dx; es decir, G(x) = Z 18 0 (680 ¡ (32x +92))
dx = Z 18 0 680dx¡ Z 18 0 (32x + 92)
dx =5; 390 pesos.
La ganancia máxima es de $5,390 cuando se venden 18 seguros de gastos médicos. Si la aseguradora desea conocer el incremento en las ganancias cuando las unidades vendidas aumentan de 18 a 19 seguros, se calcula la integral Z 19 18 ¡ R 0 (x) ¡Q 0 (x) ¢ dx = 5;386 pesos, entonces, al incrementar la venta en una unidad, se tiene una disminución en la ganancia de $4.
Excedente del...