Ingeniero

Cálculo Diferencial


UNIDAD 1: Números Reales
1.1 La recta numérica

Es una línea recta en la que se determina un número con cada punto de la recta.
La recta se dibuja comúnmente horizontal y tiene un punto de comienzo que es el punto cero, de ay hacia la derecha comienza la cuenta desde el 1 y hasta el que se ocupe, pero son positivos y hacia la izquierda es lo mismo pero sonnúmeros negativos.
En la recta no solo se pueden representar números enteros, también fracción, como 2/3, en este caso el número de abajo en las partes que se divide cada fracción de la recta y el de arriba son los pasos que se avanzan en la recta.

Ejemplos:
1-

2-


1.2 Los números reales

Son aquellos que pueden escribirse con anotación decimal, incluso aquellos queocupan una expansión decimal infinita.
Los números reales son todos los números positivos, negativos, enteros, fracciones y todos los números irracionales en los cuales el desarrollo decimal no se repita.

Ejemplos:

1- 65

2- √2 = 1.4142135623730951 . . .

1.3 Propiedades de los números reales

Conmutativa; para suma y multiplicación.
El orden al sumar o multiplicar reales noafecta el resultado.
Ejemplos: 2+8 = 8+2 5(-3) = (-3)5

Asociativa; para suma y multiplicación.
Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.
Ejemplos: 7+ (6+1) = (7+6)+1 -2(4x7) = (-2x4)7

Identidad; para suma y multiplicación.
Todo número real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva.
Todo número realmultiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.
Ejemplos: -11 + 0 = -11 17 x 1 = 17

Inversa; para suma y multiplicación.
La suma de opuestos es cero.
El producto de recíprocos es 1.
Ejemplos: 15+ (-15) = 0 1/4(4) = 1

Distributiva; para suma respecto a multiplicación.
El factor se distribuye a cada sumando.
Ejemplos: 2(x+8) = 2(x)+ 2(8)

1.4.1 Tricotomía

Propiedad de orden, entre dos números reales solo puede existir una de tres relaciones. a > b; a = b ó a < b.
Ejemplos: 5 > 2 9 < 12

1.4.2 Transitividad.

Esto se cumple cuando un elemento se relaciona con otro y este otro se relaciona con un tercero.

Ejemplos:
Sí a = b e independientemente b = c " a = c
Sí a >b e independientemente b > c " a > c
Sí a < b e independientemente b < c " a < c

1.4.3 Densidad

Quiere decir que entre 2 números existen más números intermedios.
Ejemplos:
1- 2, 5; entre ellos están en 3 y 4.
2- 0, 1; entre ellos está el 0.5.

1.4.4 Axioma del supremo
Todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee un supremo.
Se puededemostrar que todo conjunto no vacío acotado inferiormente pose ínfimo. En efecto, basta verificar que inf (A) = − sup (−A).
No es cierta la propiedad si se cambia supremo por máximo. En efecto (−1, 5) no tiene máximo pero sí supremo.
1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.

Un intervalo es un conjunto comprendido entre 2 valores.
Existen 4 tipos de intervalos:

1.-Intervalo Abierto: Conjunto de números entre a y b, sin incluirlos, se simboliza por: ( )

2.- Intervalo Cerrado: Conjunto de números entre a y b, incluidos ambos. Se simboliza por: [ ]

3.-Intervalo Semiabierto por Derecha: Intervalo de puntos entre a y b, que incluye a “a” pero excluye a “b”. Simboliza: [)

4.-Intervalo Semiabierto por Izquierda: (]

Una desigualdad es de forma 5 + 3 mayorque 4, se representa por desigualdad; 5 +3 > 4.
Esta desigualdad se transforma en una inecuación cuando se introduce una incógnita; 5 + x > 4

Ejemplos: 5 + x > 7 3 + a > 2

En la recta numérica existe una relación de orden, cuando tenemos dos puntos en la recta, M Y N pueden surgir 3 opciones:

M mayor que N; M > N
M menor que N; M < N
M igual...