Ingeniero

Probabilidades y Estadística
CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLE ALEATORIAS
1. INTRODUCCIÓN.
Cuando estudiábamos la Estadística Descriptiva, nos ocupábamos de la información correspondiente a una
variable estadística, obteníamos su correspondiente distribución de frecuencias, y una serie de medidas
descriptivas tales como la media, mediana, moda, varianza, etc., que nos resumían la informaciónsobre la
variable estadística en cuestión, pudiendo establecer comparaciones entre diferentes poblaciones, utilizando
únicamente sus características descriptivas.
Una situación análoga nos encontraremos ahora, pues toda la información sobre una variable aleatoria X está
especificada en su función de probabilidad P(x) o en su función de densidad f(x), según que la variable
aleatoria seadiscreta o continua, respectivamente. Pero en muchas situaciones hay que realizar
comparaciones entre dos o más distribuciones de probabilidad y estas comparaciones son más fáciles de
realizar comparando los valores característicos de las variables aleatorias correspondientes a esas
distribuciones, que comparando directamente las diferentes distribuciones de probabilidad o las
correspondientesfunciones de densidad.
Siguiendo un cierto paralelismo con la Estadística Descriptiva estudiaremos en este capítulo, tanto para
variables aleatorias discretas como para variables aleatorias continuas, algunas características de las mismas:
media, varianza, mediana, etc., y sus relaciones más importantes.
2. VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL.
El concepto de valor esperado oesperanza matemática de una variable aleatoria es uno de los más importantes
en el estudio de las propiedades de las distribuciones de probabilidad.
Con el fin de entender de manera fácil este concepto consideramos la siguiente situación: supon gamos el
juego realizado de la siguiente forma:
1.
2.
3.
4.

Se lanza un dado.
Si aparece un 1 el jugador gana 10 euros.
Si aparece un 2,3, 4 o 5el jugador pierde 3 euros.
Si aparece un 6 el jugador gana 2 euros.

Queremos saber si el juego es equitativo o justo, es decir, si en una larga serie de jugadas un jugador no gana
más que el otro. Para responder a esto tendríamos que realizar el juego un gran número de veces y ver que
ocurre, pero la realización del juego un gran número de veces nos llevaría muchísimo tiemp o, entonces loque hacemos es simular el juego con un ordenador un millón de veces y en esta simulación se obtuvo que el
jugador ganó por término medio 0,01 euros. Lo cual nos muestra que efectivamente el juego es muy
equitativo. No obstante, podemos calcular la equidad del juego de la siguiente forma:
Sea X: cantidad que gana un jugador en el juego, siendo negativa cuando pierde.
Esta variable aleatoria X,puede tomar los siguientes valores:
X=10,

1
de las veces
6

X= -3,

2
de las veces
3

X= 2,

1
de las veces
6

Si calculamos la media ponderada de los posibles resultados utilizando como ponderación la proporción de
veces que se presenta un resultado particular, tenemos que el resultado ponderado será:
10. 1  (3). 2  2. 1  0
6
3
6

1

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ysegún este resultado podemos decir que no esperamos ni ganar ni perder en este juego, es decir que la
ganancia esperada por juego es cero.
Otra aplicación importante del valor esperado es para describir la forma de la distribución de la variable
aleatoria. Sabemos que la mediana se puede utilizar para describir el punto medio de la distribución.
También estudiaremos los momentos, como casosespeciales del valor esperado, y los utilizaremos para
describir la distribución de una variable aleatoria, facilitándonos la comparación de distribuciones.
Más concretamente y considerando el juego planteado anteriormente, que da lugar a una variable aleatoria
discreta, X, cuya función de probabilidad es:

1
6
2

P( xi )  P( X  xi )   31
6
0


si xi  10
si xi  3
si...