Ingeniero

1.1.

Funciones

il gl™ulo es el estudio de fun™ionesF in este ™urso de w—temti™—s p—r— — — sngenier— s des—rroll—remos los ™on™eptos ˜si™os del gl™uloD ™omenz—ndo ™on  — — un estudio det—ll—do de l—s fun™iones y su propied—desD ™ontinu—ndo ™on los ™on™eptos de lmitesD ™ontinuid—d y deriv—d—sD p—r— ™on™luir ™on —pli™—™iones  ˜si™—s de l— deriv—d—F — €—r— denir un— fun™inne™esit—mos primero el ™on™epto de rel—™inF o o Definici´n @‚el—™inA. …n— o o entre dos ™onjuntos y es un su˜E ™onjunto del produ™to ™—rtesi—no ¢ F in otr—s p—l—˜r—sD un— rel—™in es un o ™onjunto de p—rej—s orden—d—s @ AD en donde P y P F r—˜iendo denido el ™on™epto de rel—™inD podemos enton™es denir el ™onE o ™epto de fun™inF o Definici´n @pun™inA. …n— o o @o simplemente A del ™onjunto —l ™onjunto esun— rel—™in que —sign— — ™—d— elemento o del ™onjunto uno y slo un elemento del ™onjunto F il ™onjunto se o ll—m— de D denot—do por a dom@ AD y el ™onjunto se ll—m— de F il elemento es l— de ˜—jo y se denot— medi—nte @ AD — lo ™u—l se le ll—m— el F in est— not—™inD es l— o y es l— F v— D o de D denot—do por im@ AD es el su˜™onjunto de form—do por tod—s l—s imgenes — de los elementos del dominiode F v—s fun™iones pueden espe™i™—rse de mu™h—s form—sD y— se— enumer—ndo expl™it—mente l—s p—rej—s orden—d—s que l— form—nD o expres—ndo ™on un—    frmul— l— rel—™in entre los dos ™onjuntosF ist— ultim— es l— represent—™in o o o de fun™iones que v—mos — us—r en este ™ursoF €or ejemploD l— e™u—™in 2 CP a I dene D l— v—ri—˜le dependienteD ™omo o fun™in de D l— v—ri—˜le independienteF€—r— o est— fun™inD es de™irD o p—r— en™ontr—r el v—lor de ™orrespondiente — un v—lor de D es ™onveniente despej—r D o˜teniendo a 1 @I   2A 2 …tiliz—ndo ™omo nom˜re de l— fun™inD est— frmul— puede es™ri˜irse ™omo o o @ A a 1 @I   2 A 2 v— e™u—™in origin—lD 2 C P a ID dene o — ™omo fun™in de o F gu—ndo se despej— D se o˜tiene l— e™u—™in en form— o F v— not—™in de fun™iones tiene l— vent—j— deque permite identi™—r l— v—E o ri—˜le dependiente ™omo @ AD inform—ndo —l mismo tiempo que l— v—ri—˜le independiente es y que el nom˜re de l— fun™in es F il sm˜olo @ A se lee o  ’ de 4F
relacin R o
A B A B a; b a A b B

funcin real de variable real o
B

fun-

cin o
x

f

A

A

y

B

A

dominio
f

f

A

f

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codof x

minio

y

imagen

x

fvalor de f en x

x

variable in-

dependiente
f

y

variable dependiente

imagen rango

recorrido

f

B

f

x

y

y

x

evaluar

y

x

y

y

x

:

f

f x

x

:

x

y

impl citamente

y

x

y

expl cita

f x

x

f

f x

f

x

I

Evaluaci´n de Funciones o

il p—pel de l— en @ A es simplemente indi™—r un hue™o que h—yque llen—rF es un— v—ri—˜le ’mud—4D lo que signi™— que puede sustituirse por ™u—lquier otr— letr— que no se h—y— us—doD o por —lgn v—lor numri™oF esD si a @ A u e  est denid— por — aP 2 R CI tenemos que @ AaP 2 R CI @ PA a P@ PA2   R@ PA C I a IU
x f x x y f x y x x f z z z f

y @QA a P@QA2   R@QA C I a U iste pro™eso de sustituir en @ A por ™u—lquier otr— letr— o por —lgn v—lor unumri™o 0 es l— e 0F
f x f x x

evaluacin de f en x o

Ejemplo

€—r— l— fun™in @ A a 2 CUD ™—l™ul— @Q AD @  IAD y ‘ @ C¡ A  @ A“ ¡ D o ¡ Ta HF @Q A a @Q A2 C U a W 2 C U @   IA a @   IA2 C U a 2   P C I C U a 2   P C V @ C ¡ A   @ A a @ C ¡ A2 C U   @ 2 C UA ¡ ¡ 2 C P ¡ C @¡ A2 C U   2   U a ¡ P ¡ C @¡ A2 a ¡ a P C ¡ ¡ Ta H
f x x f a f b f x x f x = x x f a a a f b b b b b b f x x f x x x xx x x x x x x x x x x x x x; x :

Gr´fica de una Funci´n a o
x

P dom@ AF he l— gur— siguiente puede o˜serv—rse que
f x f x

v— gr™— de un— fun™in est form—d— por todos los puntos @ @ AAD donde — o —
x; f x

a dist—n™i— dirigid— desde el eje @ A a dist—n™i— dirigid— desde el eje

y x

P

y
6

Y

y = f (x)

f (x)

x
x

-

x

he˜ido — que — ™—d— v—lor de...