Ingeniero

ANEXO D
Cálculo del cortante basal

ANEXO D

CÁLCULO DEL CORTANTE BASAL
El cálculo del cortante basal permite determinar la fuerza lateral total como
consecuencia de las fuerzas inercia que se induce a un sistema de N–grados de libertad,
distribuyéndolo posteriormente a lo largo de las diferentes alturas de la estructura. El cortante
basal se utiliza de una manera simplificada en elcálculo del parámetro 3, correspondiente a la
resistencia convencional propuesto en el método del índice de vulnerabilidad. Por lo tanto, en
este anexo, se describirá el desarrollo de la ecuación del cortante basal.
Utilizando el método de superposición modal para el análisis de la respuesta dinámica
de un sistema de N–grados de libertad, permitirá calcular el cortante basal o resistencia lateralde un edificio, así como la distribución de este en cada uno de los entrepisos del edificio. La
posición desplazada de un sistema de N–grados esta definida por las N componentes de vector
y, sin embargo para propósitos dinámicos, se tienen más ventajas al expresar esta posición en
términos de las formas modales de vibración. Estas formas constituyen N patrones de
desplazamientos independientecuyas amplitudes pueden servir como coordenadas
generalizadas para expresar cualquier grupo de desplazamientos.
La ecuación de movimiento para un sistema de N–grados de libertad esta definida por:

&
M ⋅ && + C ⋅ y + K ⋅ y = Feq
y

ec. D-1

Considerando que Feq, esta definida por:

z
Feq = -M ⋅ J ⋅ &&o

226

ec. D-2

Cálculo del cortante basal

En donde
M
C
K
y
J
&&oz

Feq

es la matriz de masas de la estructura
es la matriz de amortiguamiento de la estructura
es la matriz de rigideces de la estructura
es vector de desplazamiento
es un vector unitario
es la aceleración del terreno
es la fuerza equivalente provocada por la aceleración del terreno, es
decir:

La forma de cada uno de los N modos de vibración puede ser representado por la
matriz Φ;Φ = [φ1 ,φ 2 ,...,φ n ]

ec. D-3

Los vectores φi son las formas modales no normalizadas. Utilizando estas formas
modales se pueden definir la masas generalizadas, como;

φ iT ⋅ M ⋅ φ i = m*
i

ec. D-4

En donde mi* es la masa generalizada y, además se cumplen las propiedades de
ortogonalidad lineal para i ≠ j , es decir,

φ T ⋅ M ⋅ φi = 0
j

ec. D-5

De la misma manera seutilizan las formas modales φi para definir la rigidez
generalizada, esto es, se multiplica la ec. D-6 por φiT, y se sustituye la ec. D-4 en E-7.

K ⋅ φ i = ω i2 ⋅ M ⋅ φ i

ec. D-6

φ iT ⋅ K ⋅ φ i = ω i2 ⋅ φ iT ⋅ M ⋅ φ i

ec. D-7

φ iT ⋅ K ⋅ φ i = ω i2 ⋅ m*
i

ec. D-8

*
ω i2 ⋅ m* = k i
i

ec. D-9

Considerando

Y sustituyéndola en la ec. D-8, se obtiene
*
φ iT ⋅ K ⋅ φ i =k i

ec. D-10

En donde ki*, es la rigidez generalizada que cumplen las propiedades de ortogonalidad
lineal para i ≠ j , es decir:

227

ANEXO D

φ T ⋅ K ⋅ φi = 0
j

ec. D-11

Finalmente, el amortiguamiento generalizado esta definido por la ec. D-12,
cumpliéndose las propiedades de ortogonalidad lineal para i ≠ j , de acuerdo a la ec. D-13.

φ iT ⋅ C ⋅ φ i = 2 ⋅ ζ i⋅ω i ⋅ m*i

ec. D-12

φ T ⋅ M ⋅ φi = 0
j

ec. D-13

Considerando la ec. D-14, como solución de la ecuación de movimiento, se deriva y
sustituye en la ec. D-1.

y = Φ⋅z

ec. D-14

&
&
y = Φ⋅z

ec. D-15

&& = Φ ⋅ &&
y
z

ec. D-16

&
z
M ⋅ Φ ⋅ && + C ⋅ Φ ⋅ z + K ⋅ Φ ⋅ z = Feq

ec. D-17

Multiplicando la ec. D-17, por φ T
j

&
z
φ T ⋅ M ⋅ Φ ⋅ && + φ T ⋅ C ⋅ Φ ⋅ z + φ T ⋅K ⋅ Φ ⋅ z = φ T ⋅ Feq
j
j
j
j

ec. D-18

Utilizando la relación:

z
z
z
φ T ⋅ M ⋅ Φ ⋅ z = φ T ⋅ M ⋅ φ1 ⋅ &&1 + φ T ⋅ M ⋅ φ 2 ⋅ &&2 + ... + φ T ⋅ M ⋅ φ i ⋅ &&i
j
j
j
j

ec. D-19

De acuerdo a la condición de ortogonalidad (ec. D-5), la ec. D-19, se reduce a:

z
φ T ⋅ M ⋅ Φ ⋅ z = φ T ⋅ M ⋅ φ i ⋅ &&i
j
j

ec. D-20

Realizando el mismo proceso para φ T ⋅ C ⋅ Φ ⋅ z i y...