Ingeniero

Leyes de la lógica y reglas de inferencia
Leyes de la lógica
Implicación y disyunción (ID)
Doble negación (DN)
De Morgan (DM)
Contrapositiva
Regla de inferencia
Modus Ponens (MP)
Modus Tollens (MT)
Silogismo disyuntivo (SD)
Silogismo hipotético (SH)
Adjunción (ADJ)
Simpli…cación (SIMP)
Adición (ADI)

Equivalencia
P =) Q :P _ Q
::P P
: (P _ Q) :P ^ :Q
: (P ^ Q) :P _ :Q
P =) Q:Q =) :P

Premisas
P =) Q; P
P =) Q; :Q
P _ Q; :P
P =) Q; Q =) R
P; Q
P ^Q
P
Q cualquier otra propos.

Conclusión
Q
:P
Q
P =) R
P ^Q
P; Q
P _Q

Ejercicios1

2

1. Redacte la contrapositiva y el recíproco de las siguientes proposiciones:
(a) Si f es una función invertible, entonces es biyectiva.
(b) Dos rectas oblicuas2 son perpendiculares si el producto de sus pendienteses
(c) Sea f (x) = ax ; a > 0 y a 6= 1: Si a > 1; entonces f es una función creciente.

1:

2. Si P; Q; R son verdaderas y S; T son falsas, determine el valor de verdad de la proposición:
[P =) (R =) T )] () [(:P ^ S ) =) (Q =) :T )]
3. Determine, utilizando tablas de verdad, si cada proposición compuesta es tautología, contradicción o
contingencia:
(a) : (P =) Q) () (P ^ :Q)
(b) (P _ Q)! [Q =) (P ^ Q)]
(c) [: (:P ^ R) _ Q] () [(:P _ R) ^ Q]
4. Use una tabla de verdad para determinar si bajo las premisas P =) Q y :P =) R es válido concluir
Q _ R:
Nota: Esto es equivalente a veri…car que
[P =) Q ^ :P =) R] =) Q _ R
sea una tautología.
1

Varios de los ejercicios son tomados de Murillo, M (2010). Introducción a la Matemática Discreta. Cartago, Editorial
Tecnológica deCosta Rica.
2
Una recta es oblicua si tiene pendiente real y diferente de cero.

5. Se tiene que R es una proposición verdadera y que P y Q son proposiciones cualesquiera. Por medio
de una tabla de verdad determine si la proposición [(:P _ Q) ^ R] =) (P ^ :Q) es una tautología,
contradicción o contingencia.
6. Determine una asignación de valores de verdad para A; B; C; D y E que veri…que que[(A =) (B _ C )) ^ (C =) (D ^ E )) ^ :D]
no implica tautológicamente a A =) E: Razone la asignación de tal manera que no tenga que construir
una tabla de verdad.
7. Demuestre que : (S ^ :Q) a partir de :T; :P =) :S; y :P _ T .
8. Demuestre que R =) :Q a partir de : (R ^ S ) y :S =) :Q:
9. Demuestre que : (S _ :Q) a partir de :S =) Q; : (T ^ R) ; S =) T ^ R:
10. Demuestre P a partir de (:P_ :Q) =) (R ^ S ) ; R =) T; :T:
11. Demuestre U a partir de P ^ T; P =) Q; Q =) (R ^ S ) ; :R _ :T _ U:
12. Por medio de las reglas de inferencia pruebe :T a partir de las siguientes premisas: P =) :Q; Q _:R;
P ^ S y T =) R ^ S:
13. Determine la veracidad de las siguientes a…rmaciones cuanti…cadas:
(a) 8n 2 I n2 < 27 :
N
h
i
(b) 8x 2 I (3x + 1)2 > 0 :
R

(c) 9n 2 I 2 < n3 + 1 < 8 :
N3
(d) Dado que: A = 1; 2; 2

y B = 3; 2; 3
2

i. 9x 2 I [x 2 A ^ x 2 B ] :
N
ii. 8x 2 A [x
iii. @x 2 B

x
2

0] :
2Z^

x
2

2A :

14. Escriba la negación de cada una de las proposiciones cuanti…cadas:
(a) 8n 2 I n2 < 27 :
N
(b) 9n 2 I n3 + 2 = 11 :
N
(c) 9r 2 Q r2 = 2 _ 2r + 1 < 0 :

3

Soluciones a los ejercicios
1. Solución:
(a) Contrapositiva: Si f no esbiyectiva, entonces no tiene inversa. Recíproco: Si f es biyectiva,
entonces es invertible.
(b) Contrapositiva: Si el producto de la pendientes no es 1; entonces las dos rectas oblicuas no
son perpendiculares. Recíproco: Si el producto de las pendientes es 1; entonces las dos rectas
oblicuas son perpendiculares.
(c) Contrapositiva: Si f no es creciente, entonces 0 < a
creciente, entonces a > 1:1: Recíproco: Si f es una función

2. Es falsa pues:
P

Q

R

S

T

:P

:T

R =) T

V

V

V

F

F

F

V

F

P =)
(R =) T )
F

(:P ^ S )

(Q =) :T )

F

V

: (P =) Q)
V
F
F
F

P ^ :Q
V
F
F
F

(:P ^ S ) =)
(Q =) :T )
V

3. Respuestas:
(a) Es tautología pues:
P
V
V
F
F

Q
F
V
V
F

:Q
V
F
F
V

P =) Q
F
V
V
V...