Ingeniería Civil

Método de los Elementos Finitos
para Análisis Estructural

Juan Tomás Celigüeta Lizarza
Dr. Ingeniero Industrial
Profesor de Análisis Estructural de la Escuela Superior de
Ingenieros de San Sebastián

© 2000-2008 Juan Tomás Celigüeta Lizarza

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ISBN: 84-921970-2-1
Depósito Legal: SS-42/2000
Primera edición, Febrero 2000.
Segunda edición, Septiembre 2004.
Tercera edición, Septiembre 2008.

Impreso en España - Printed inSpain
Imprime: UNICOPIA C.B.
M. Lardizábal, 13
20018 San Sebastián - Gipuzkoa

Para Carmen, José Mari,
Iñigo y Coro

Contenido
1. INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

1

1.1. Sistemas discretos y sistemas continuos

1

1.2. Hipótesis de discretización

2

1.3. Funciones de interpolación

6

1.4. Criterios de convergencia

8

2. ECUACIONES GENERALES DELMEF

15

2.1. Campo de deformaciones

15

2.2. Deformaciones unitarias

16

2.3. Estado de tensiones. Ecuación constitutiva

18

2.4. Ecuación de equilibrio de un elemento

19

2.5. Ecuación de equilibrio del conjunto

23

2.6. Condiciones de ligadura

24

2.7. Energía potencial total

24

3. ELASTICIDAD UNIDIMENSIONAL

26

3.1. Introducción

26

3.2.Elemento de dos nudos

27

3.2.1

Elemento con área variable

29

3.2.2

Tensiones

29

3.3. Funciones de interpolación

30

3.4. Formulación isoparamétrica

33

3.4.1

Interpolación de deformaciones

34

3.4.2

Deformaciones unitarias. Matriz B

34

3.4.3

Matriz de rigidez

35

3.4.4

Vector de fuerzas nodales equivalentes

35

3.5. Elementoisoparamétrico de tres nudos

i

36

4. ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL

39

4.1. Introducción

39

4.2. Funciones de interpolación

40

4.3. Deformaciones unitarias

41

4.4. Estado de tensiones. Ecuación constitutiva

42

4.5. Deformaciones unitarias iniciales. Temperaturas

43

4.6. Elemento triangular

44

4.7. Elemento rectangular

48

4.8. Funciones de interpolación detipo C0

51

4.8.1

Elementos rectangulares. Formulación Serendipity

51

4.8.2

Elementos rectangulares - Interpolación de Lagrange

56

4.8.3

Elementos triangulares

57

4.9. Formulación isoparamétrica

60

4.9.1

Interpolación de coordenadas

61

4.9.2

Matriz de rigidez

64

4.9.3

Fuerzas de volumen

66

4.9.4

Fuerzas de superficie

67

4.9.5Elementos triangulares

68

4.10. Conformabilidad geométrica

68

4.11. Requerimientos de convergencia

71

4.12. Elemento cuadrilátero de cuatro nudos no conforme

72

4.13. Elemento plano híbrido de cuatro nudos

74

4.13.1 Deformaciones unitarias

76

4.13.2 Interpolación de tensiones

76

4.13.3 Ecuación de equilibrio

79

4.14. Ejemplos. Comparación entreformulaciones

80

4.14.1 Patch test

80

4.14.2 Convergencia

82

4.14.3 Test de Cook

84

ii

5. ELASTICIDAD TRIDIMENSIONAL

85

5.1. Introducción

85

5.2. Campo de desplazamientos

85

5.3. Deformaciones unitarias

86

5.4. Relación tensión - deformación unitaria

88

5.5. Tipos de elementos

89

5.5.1

Elementos prisma rectangular

89

5.5.2Elementos tetraedro

92

5.5.3

Elementos prisma triangular

93

5.6. Formulación isoparamétrica

94

6. PROBLEMAS CON SIMETRÍA DE REVOLUCIÓN

6.1. Introducción

99

99

6.2. Funciones de interpolación

100

6.3. Deformaciones unitarias

101

6.4. Estado de tensiones. Ecuación constitutiva

103

6.5. Temperaturas. Deformaciones unitarias iniciales

103

6.6....