Ingeniería

DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL
(no se conoce la media poblacional)

1) Sabemos que:

2) Si la población de la que se extrae la m.a.s. es N(µ; σ) entonces:

3) Porel Lema de Fisher-Cochran, y S2x se distribuyen independientemente.

Del punto 1) se deduce que :

y como y S2x son independientes:

Y por tanto:

Con lo que :

queno es sino la función característica de una ji-cuadrado con n-1 grados de libertad, por lo que, dada la unicidad de las funciones características se puede concluir que

Yadisponemos por tanto de una expresión (expresión pivotal) que liga la varianza poblacional con la varianza muestral a través de una distribución conocida y tabulada.
Estaexpresión será de indudable importancia a la hora de realizar inferencias acerca de la varianza de una población normal con media desconocida sobre la base de la varianza de unam.a.s3

3.- Si µ fuese conocida podríamos realizar inferencias sobre σ2 en base a

la expresión

Y como entonces

Corolario:

Como la esperanza de una chi-cuadrado sonsus grados de libertad y la varianza el doble de sus grados de libertad, entonces la esperanza y la varianza de la varianza muestral aleatoria son, para m.a.s. procedentes de unapoblación normal

Por otra parte, sabíamos que, fuese cual fuese la distribución de probabilidad de la población

Pero en el caso normal, como µ4 = 3σ4 se tiene queDISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE VARIANZAS MUESTRALES ALEATORIAS

Sabemos que

Por lo cual

Ambos independientes.
Por tanto,

o bien

En caso de conocerse las mediaspoblacionales µ1 y µ2
podríamos haber utilizado

Y como

y además se distribuyen independientemente, entonces

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