INGENIO

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MATEMATICAS E INGENIO
Pedro Alegr´ (pedro.alegria@ehu.es)
ıa

Una persona nunca es tan ingeniosa como inventando juegos.
Leibnitz (1646-1716)
Los juegos de ingenio son a prop´sito para todas las estaciones y
o
en todas las edades, pues que instruyen a los j´venes, entretienen
o
a los adultos, convienen a los ricos y no se hallan fuera del alcance
de las personas medianamenteacomodadas.
Ozanam (1640-1717)

´
INDICE
1. Principio del palomar.
2. Problema de los cuatro viajantes.
3. Sucesiones de recurrencia.
4. Grafos.
5. Problema de los tres envases.
6. Torre de Hanoi.
7. Combinatoria.
8. La revancha de Arqu´
ımedes.

1

Grandes teor´ matem´ticas han tenido como fundamento motivos recreaıas
a
tivos o diferentes tipos de juegos. Podemos destacar, entreotros, los juegos
de azar que permitieron a Pierre de Fermat y Blaise Pascal la creaci´n
o
de la Teor´ de la Probabilidad, teor´ en la que se basaron las compa˜´
ıa
ıa
nıas
de seguros en sus inicios a mediados del siglo XVIII, y los juegos de estrategia iniciados a principios del presente siglo, que dieron lugar a la teor´
ıa
matem´tica de juegos.
a
El siguiente efecto de adivinaci´n tienesu base en un conocido hecho de las
o
matem´ticas:
a
Pide a un espectador que escriba en fila cinco n´meros de una
u
cifra. Despu´s escribes en secreto el n´mero a1 +4a2 +6a3 +4a4 +
e
u
a5 (m´d 9) y pides al espectador que escriba en la fila de abajo
o
los restos m´dulo 9 de las sumas de dos n´meros consecutivos
o
u
de la fila anterior. Este proceso se repite de nuevo hasta que s´lo
oquede en el extremo inferior un n´mero. Muestra el n´mero que
u
u
hab´ escrito al principio y nota que coincide con el obtenido
ıas
por el espectador.
La explicaci´n se encuentra en las propiedades del tri´ngulo aritm´tico, coo
a
e
nocido como el tri´ngulo de Pascal por haber publicado ´ste un tratado sobre
a
e
el tema, aunque tal disposici´n fue descubierta anteriormente porTartaglia
o
(y mucho antes en China por Yang Hui).

1
1
1
1

2
3

1
1

1

4

5

1
3

6

10

1
4

1

10

5

1

........................
Cada fila corresponde a los coeficientes del desarrollo de (a + b)n , es decir
n
los n´meros combinatorios
u
, k = 1, . . . , n.
k
Muchos hechos notables se relacionan con dicha disposici´n. Por ejemplo, la
o
n . Las diagonalesprincipales
suma de los elementos de la fila n-´sima es 2
e
corresponden a los n´meros triangulares, tetra´dricos, etc., y la suma de los
u
e
elementos de la diagonal secundaria da la sucesi´n de Fibonacci.
o
Haremos en esta exposici´n un recorrido por algunos problemas de mao
tem´tica recreativa que sido fuente de multitud de estudios y han conseguia
2

do despertar la afici´n por lasmatem´ticas de muchos j´venes en todo el
o
a
o
mundo.

1.

PRINCIPIO DEL PALOMAR.

Teorema. En cualquier momento, siempre hay en Nueva York al menos
dos personas con el mismo n´mero de cabellos.
u
Esta afirmaci´n es consecuencia directa del llamado principio del palomar
o
o principio de Dirichlet, que tiene las siguientes formulaciones equivalentes:
a) Si m palomas se colocan en mpalomares, uno de los palomares est´ vac´
a
ıo
si y s´lo si un palomar est´ ocupado por m´s de una paloma.
o
a
a
b) Si n > m palomas se colocan en m palomares, hay al menos un palomar que contiene m´s de una paloma. M´s precisamente, habr´ alg´n
a
a
a
u
n−1
+ 1 palomas (donde el s´
ımbolo [x] repalomar con al menos
m
presenta la parte entera de x).
c) Sea card (A) el n´mero deelementos de un conjunto finito A. Para dos
u
conjuntos finitos A y B, existe una correspondencia biun´
ıvoca f : A →
B si y s´lo si card (A) = card (B).
o
Volvamos a la comprobaci´n de la existencia de dos personas en Nueva York
o
con el mismo n´mero de cabellos.
u
Se puede estimar que el n´mero m´ximo de cabellos que puede tener una
u
a
persona es de 150 cabellos por cent´
ımetro...