Ingeniopolis

Carlos Ivorra Castillo

´ ALGEBRA ´ HOMOLOGICA Y ´ ALGEBRA CONMUTATIVA

Los ge´metras se imaginan las matem´ticas, los o a analistas las hacen y los algebristas las entienden.

´ Indice General
Introducci´n o vii

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´ Algebra homol´gica o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 3 13 17 24 29 34 39 45 51 51 54 57 63 68 7683 87 89

Cap´ ıtulo I: Funtores derivados 1.1 Haces . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Espacios anillados . . . . . . . . . . 1.3 Categor´ y funtores . . . . . . . . . ıas 1.4 M´dulos inyectivos y proyectivos . . o 1.5 Complejos . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Resoluciones inyectivas y proyectivas 1.7 Funtores derivados . . . . . . . . . . 1.8 Caracterizaci´n axiom´tica . . . . . o aCap´ ıtulo II: Ejemplos de funtores derivados 2.1 Los funtores Tor . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Grupos de cohomolog´ . . . . . . . . . . ıa 2.3 M´dulos localmente libres . . . . . . . . . o 2.4 Los funtores Ext . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Cohomolog´ en espacios paracompactos . ıa 2.6 La cohomolog´ singular . . . . . . . . . . ıa 2.7 La cohomolog´ de Alexander-Spanier . . ıa 2.8 La cohomolog´ deDe Rham . . . . . . . ıa 2.9 La estructura multiplicativa . . . . . . . .

2

´ Algebra conmutativa
. . . . . . . . . . v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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97 97 103 112 115 120

Cap´ ıtulo III: La geometr´ af´ ıa ın 3.1 M´dulosde cocientes . . . . o 3.2 Conjuntos algebraicos afines 3.3 La topolog´ de Zariski . . . ıa 3.4 El espectro de un anillo . . 3.5 Primos asociados . . . . . .

vi 3.6 3.7 3.8

´ INDICE GENERAL Extensiones enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 La dimensi´n de Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 o Funciones regulares . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 145 145 152 162 167 173 183 183 186 192 200 203 220 233 247 255 256

Cap´ ıtulo IV: Anillos locales 4.1 Compleciones . . . . . . . . . . . 4.2 Topolog´ inducidas por ideales ıas 4.3 Anillos y m´dulos artinianos . . . o 4.4 El polinomio de Hilbert . . . . . 4.5 El teorema de la dimensi´n . . . o Cap´ ıtulo V: Regularidad 5.1 El teorema de la altura . . . 5.2 Anillos localesregulares . . 5.3 Sucesiones regulares . . . . 5.4 Anillos de Cohen-Macaulay 5.5 La dimensi´n proyectiva . . o 5.6 Variedades regulares . . . . Ap´ndice A: M´dulos planos e o . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ap´ndice B: Im´genes directas e inversas de m´dulos e a o Bibliograf´ ıa ´ Indice de Materias

Introducci´n o
El prop´sito original de este libro era presentar los resultados sobrealgebra o ´ conmutativa necesarios para un futuro libro de geometr´ algebraica moderna ıa (teor´ de esquemas). Algunos de estos resultados requieren para su demosıa traci´n una base de algebra homol´gica, que en una primera redacci´n aparec´ o ´ o o ıa intercalada en los distintos cap´ ıtulos a medida que iba siendo necesaria y, para las demostraciones, remit´ a menudo a mi libro de Topolog´...