Ingeniria calculo

TEMA

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Funciones de varias variables

Hasta ahora todas las funciones reales que hemos manejado asocian, a cada n´mero real, otro n´mero real. Sin embargo, muchas de las magnitudes m´s imporu u a tantes de la vida real no dependen de una unica variable sino del comportamiento ´ conjunto de muchas de ellas, pudiendo variar cada una de forma independiente de las dem´s. Por ejemplo, elespacio que, tras una frenada, recorre un veh´ a ıculo antes −v 2 de deternerse lo podemos calcular utilizando la f´rmula s = o , siendo v la ve2a locidad con la que se mueve el veh´ ıculo y a la aceleraci´n negativa que experimenta o por la acci´n de los frenos. Observa que el espacio de frenada que utiliza el veh´ o ıculo depende, tanto de la velocidad con la que se desplaza como de ladesaceleraci´n. o Para modelar este tipo de comportamientos, podemos utilizar las funciones de varias variables, denominando por funci´n de varias variables o campo vectoo n en Rm , como por ejemplo la funci´n f : R2 → rial a cualquier aplicaci´n de R o o 3 definida como f (x, y) = 2 − y 2 , xy, ln x · sen y . Podemos hacer una 1−x R primera clasificaci´n seg´n sean las dimensiones de los espacios de partida y deo u llegada y as´ ı si m = 1, la funci´n devuelve n´meros reales, por lo que diremos que dicha o u funci´n es un campo escalar, ya que a cada vector de Rn le asocia un valor o −v 2 escalar, como por ejemplo la funci´n s : R2 → R definida como s(v, a) = o 2a o la funci´n f1 : R2 → R definida como f1 (x, y) = 1 − x2 − y 2 o si n = 1 y m = 2, la funci´n asocia a cada valor de R un punto de R2 , con olo que podemos identificarla con una curva plana, como por ejemplo sucede con la funci´n f : R → R2 definida como f (t) = (cos t, sen t) o si n = 1 y m = 3, la funci´n asocia a cada valor de R un punto de R3 , con lo o que podemos identificarla con una curva en el espacio, como por ejemplo sucede con la funci´n f : R → R3 definida como f (t) = (cos t, sen t, t) o

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C´lculo a

si n = 2y m = 3, obtendremos una superficie en forma param´trica como e 2 → R3 definida como f (u, v) = (cos v, sen v, u · v). Observa por ejemplo f : R que, para cada valor fijo del primer par´metro u = u0 , la curva f (u0 , v) es una a del tipo del ejemplo anterior y lo mismo sucede para cada valor fijo del segundo par´metro. As´ una superficie en forma param´trica la podemos entender como a ı, e la uni´nde dos familias param´tricas de curvas en el espacio que se entrecruzan o e tal y como lo hacen los hilos de un tejido. El estudio general de funciones de Rn en Rm , lo podemos reducir al estudio de las m funciones de Rn en R que determinan y vienen determinadas por sus 1 − x2 − y 2 , xy, ln x · sen y , m componentes. As´ para la funci´n f (x, y) = ı, o podemos estudiar las tres funcionessiguientes: f1 (x, y) = 1 − x2 − y 2

f2 (x, y) = xy f3 (x, y) = ln x · sen y En general, dada una funci´n f : Rn → Rm , al conjunto de valores de Rn para los o que tiene sentido la expresi´n de dicha funci´n le llamaremos dominio de la funci´n o o o f . En el ejemplo anterior, para que la expresi´n de f (x, y) tenga sentido tienen que o tener sentido tanto f1 (x, y), como f2 (x, y) como f3 (x, y). 1.Para que tenga sentido el primer campo escalar, 1 − x2 − y 2 ≥ 0, es decir que x2 + y 2 ≤ 1 2. El segundo campo escalar tiene sentido para cualquier par de valores. 3. En tercer campo, s´lo tiene sentido si x > 0 o Para que f (x, y) tenga sentido, tienen que tener sentido todas y cada una de sus componentes, con lo que el dominio de f ser´ el conjunto a (x, y) ∈ R2 tales que x2 + y 2 ≤ 1; x > 0 Esdecir, el dominio de f es la parte derecha del c´ ırculo de centro el origen y radio 1

Por lo general, la funciones m´s complicadas vienen expresadas en t´rminos a e de otras funciones m´s simples, construy´ndose aquellas como sumas, restas, proa e ductos, cocientes o composiciones de ´stas. Para poder establecer con precisi´n las e o propiedades de las funciones m´s simples que “heredan” las...