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CALCULO VECTORIAL

Unidad 5
Integración











INDICE
5.1.- Introducción.
5.2.- Integral de línea.
5.3.- Integrales iteradas dobles y triples.
5.4.- Aplicaciones a áreas y solución de problema.
5.5.- Integral doble en coordenadas polares.
5.6.- Coordenadas cilíndricas y esféricas.
5.7.- Aplicación de la integral triple en coordenadas cartesianas, cilíndricas yesféricas.












5.1.- INTRODUCCIÓN
La integración es un método para la obtención de una función o un valor cuyo diferencial sea equivalente a la misma función.
Esto significa que si la función dada es f(x), mediante integrarla obtendríamos g(x).
Ahora bien, si g ‘(x) es el diferencial de la función g(x) entonces g’ (x) y f (x) son la misma función en sí.
El proceso deintegración es el inverso de la diferenciación.
El símbolo se utiliza para denotar la función de integración.
Sea f(x) el coeficiente diferencial de una función F(x) con respecto a x entonces,

O,

Tomando la sumatoria de todas las diferenciales obtenemos,
dy = f(x) dx = d [F(x)]
O,
y = f(x) dx = F(x)
Cuando dx tiende hacia cero, la sumatoria es sustituida con la integral. Entonces, y= f(x) dx = F(x)
Aquí f(x) dx es leída como la integral def(x) dx. En la ecuación anterior, f(x) es llamada integrando y F(x) es llamada la integral o función primitiva de f(x).
Además la integración de f(x) con respecto a x es F(x).
Es importante tener en cuenta que el signo se utiliza para la sumatoria de valores discretos, mientras que se utiliza para la sumatoria de funciones continuas.Esto significa que el método de integración se utiliza para sumar el efecto de una función que varía continuamente, por ejemplo, el trabajo hecho en contra de una fuerza variable.
Es de notar que el álgebra ordinaria no proporciona algún método para sumar el efecto de una función que varíe.
La integración es de dos tipos, integración indefinida e la integración definida.
Cuando una función esintegrada dentro de los límites definidos, la integral se denomina integral definida.
EJEMPLO

f(x) dx es la integral definida de f(x) entre los límites a y b y es escrita como,
f(x) dx = F(x) = F(b) – F(a)
Aquí a se llama límite inferior y b se llama límite superior de integración.
Si una función está dada por y = + C, donde C es una constante de integración entonces, dy/ dx = d(5×5+ C)/ dx = 25×4 + 0 = 25×4
Como la integración es el proceso inverso de la diferenciación, por tanto 25×4 dx = 5×5.
Esto significa que durante la integración la constante no aparece.
Esto es debido al hecho de que el coeficiente diferencial de una constante es cero.
Por tanto, no podemos decir con certeza si es 25×4 dx = 5×5 o 5×5 + C.
Dicha integración se conoce como integración indefinida.Por consiguiente en todas las integrales indefinidas, se supone que está presente una constante de integración C, si la condición de integración, esto es, el límite de integración no es mencionado.
Es por esto que debemos añadir una constante C en el resultado de todas las integrales indefinidas.
Vamos ahora a resolver un ejemplo con los dos métodos para entender la diferencia entre ambos.
27p2 (p3 + 2)8 dx
El ejemplo anterior no contiene límites de integración y por tanto es una integral indefinida.
27 p2 (p3 + 2)8 dx (p3 + 2)9 + C
Ahora bien, si ponemos los límites de la integración como,
27 p2 (p3 + 2)8 dx
(p3 + 2)9
(33 + 2)9 - (23 + 2)9
= 381957187929
5.2.- INTEGRAL DE LINEA
La integración de línea es la técnica de integración para una función a lo largo de una curvadada.
También es conocida por los nombres de integral de contorno, integral de trayectoria, curva integral etc.
Aquí uno podría confundir la integral de línea y el cálculo de la longitud de un arco con la ayuda de la integración.
Ambos, los campos escalares así como los vectoriales pueden ser integrados utilizando este método.
Una integración de línea de tales campos produciría una sumatoria...