Iniciacion Al Algebra

Iniciación al Algebra
Problema inicial
En algebra se usan letras para denotar números, ya que con estas se prueban propiedades generales para todos ellos; por ejemplo, para cualquier numero x se tiene que x + 3 = 3 + x, y eso ayuda para no tener que verificar la propiedad en cada número.
Estime cuanto tardaría en escribir todos los números naturales del 1 al 1 000 000 sin saltarse ninguno, esdecir, escribir completa la siguiente lista:
1, 2, 3, 4, …, 503, 837, …, 999 999, 1 000 000.
Expresiones numéricas y variables.
Si se observan las siguientes expresiones:
8-3, 162- 93, 25 ÷ 5, 1 + 2 + 1 + 1, 86 – 81, 5 x 1, 5
Es claro que todas ellas son expresiones numéricas con el mismo valor, en este caso el numero 5, el cual, es la expresión numérica más sencilla o simple. Si se escribe86 – 81 = 5 se dice que se ha simplificado la expresión 86 – 81. Al simplificar una expresión se cambia o sustituye dicha expresión por un número.
Si se desea simplificar la expresión (60 – 24) + 6
Hay que considerar que los paréntesis que aparecen en la expresión numérica indican cómo se debe agrupar los números. Así que
(60 – 24) + 6 = 36 + 6 = 42
Los paréntesis, del caso anterior, sonsímbolos de agrupamiento, en otros casos se usan corchetes [ ] o llaves { }.
En la fracción 7+123 la “barra” es un símbolo de agrupamiento que también es un signo de división.
Los símbolos de multiplicación no se escriben cuando hay símbolos de agrupamiento:
7 X (4 + 2) = 7(4 + 2)
Símbolos de agrupamiento
7(4 + 2) 7[4 + 2] 7{4 + 2} 7+123
Paréntesis corchetes llaves barra de fracciónSi se desea eliminar los símbolos de agrupamiento hay que empezar a operar siempre de adentro hacia afuera hasta simplificar la expresión numérica.
EJEMPLOS
Simplificar la siguiente expresión.
3 + [8 + (6 – 3)]
Solución:
3 + [8 + (6 – 3)] = 3 + [8 + (3)] = 3 + [8 + 3] = 3 + [11] = 3 + 11 = 14
Calcular el valor de la expresión.
6[7 + (5 – 4)]
Solución:
6[7 + (5 – 4)] = 6[7 + (1)] = 6[7 +1] = 6[8] = 6 ∙ 8 = 48
Obtener la simplificación de la expresión.
5 3-17
Solución:
5 3-17 = 5(3-1)7 = 5(2)7 = 5 ∙ 27 = 107
En una competencia un ciclista desarrolla una velocidad promedio de 35 kilómetros por hora. Esto significa que:
En una hora recorrerá 35 X 1
En dos horas recorrerá 35 X 2
En tres horas recorrerá 35 X 3
Cada una de estas expresiones numéricas sigue el patrón de 35 Xn donde n puede ser 1, 2 ó 3 horas. La letra n es la variable. En este caso n esta en el conjunto {1, 2, 3}.
Una variable es un símbolo (literal) con el que se representan uno o más números.
La expresión como 10 X x es una expresión variable o expresión abierta.
En general, se omite el símbolo de multiplicación y se escribe 10x en vez de 10 X x, ese producto se considera como agrupad.
Elproceso de sustituir cada variable en una expresión por un numero y simplificarla se llama evaluación de la expresión o valor numérico de la expresión.
EJEMPLOS
Calcular el valor de 4x-yx+2y
Si el valor de x = 5 y el de y = 2.
Solución:
Sustituir x por 5 y y por 2 insertando los símbolos de agrupamiento y multiplicación necesarios.
Luego se tiene que simplificar la expresión numérica.4x-yx+2y = 4 ∙5- 25+(2 ∙2)
= 20-25+4
= 189 = 2
EJERCICIOS
1. Simplifique las expresiones.

a) (8 – 3) + 7 b) [12 - (3 ∙ 2)] ÷ 3 c) 8 – [2 ÷ (3 – 1) ]

d) [6 + (5 – 1)] + 8 e) 60-510+1 + 2 f) 3 + 20+616-3
2. Encuentre el valor de cada expresión si a = 2, b = 3 y c = 4.
a) 8 – c b) 20c-2 c) a + 2b – c
d) 16ac e) 5(a – 1) f) a+cb
g) 24bc h)cb-a i) 2c+2baExponentes y orden de las operaciones
Si se multiplican dos o más números cada uno es un factor del producto por ejemplo 3 y 4 son los factores de 12, otro par de factores de 12 son 2 y 6 o bien 1 y 12, es decir:
12 = 3 ∙ 4 = 6 ∙ 2 = 1 ∙ 12 y también 12 = 2 ∙ 2 ∙3
Si un número se puede expresar como producto de factores iguales sin considerar al 1, ese número es una potencia del factor repetido. Es...