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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matem´tica
a

Tesis de Licenciatura

ROADMAPS EN CONJUNTOS SEMI-ALGEBRAICOS

Mar´ Laura Barbagallo
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Directora de tesis: Dra. Gabriela Jeronimo

Marzo de 2010

Agradecimientos
Hay mucha gente que hizo y hace posible que yo est´ ac´, escribiendo mi tesis de
ea
licenciatura. Mucha gente queme ayud´ y acompa˜´ todos estos a˜os, de cerca o de
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no
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lejos, a nivel acad´mico, familiar y brind´ndome su amistad. En particular, quiero
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a
agradecer:
– A mi familia, que me ayud´ cuando decid´ empezar este camino, que aguant´ mis
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o
nervios antes de cada parcial. A m´ pap´, por mostrarme con el ejemplo que si
ı
a
quiero, puedo. A m´ mam´, por tener esa fuerza que la hizosalir adelante. A Majo,
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a
porque calladita te pone los puntos, por su compa˜´
nıa...
– A Tita Rina, Tita Mari y a Tito, por estar en cada uno de mis recuerdos de la
infancia. Fueron mis compa˜eros de juegos, amigos y abuelos...
n
– A mi amiga de la vida, Laura. Por ser mi compa˜era de aventuras en aquellos a˜os
n
n
donde todo era m´s f´cil. Por ser mi confidente y darme un empujoncitocada vez
aa
que me estaba por rendir. Una charla con ella me baja a la tierra en segundos...
– A Gabriela, por aceptar trabajar conmigo y hacerme un lugar en su equipo, por
pensar y discutir de igual a igual, por responder preguntas y repetir las respuestas...
A Daniel P., por ayudar a aclarar dudas...
– A los chicos y chicas de la facu: Georgi, Pau, Ana F., Lucas, Marce, Ro, Caro M.,
Lean,Carito, Juli, Pablo T., Jime, Isa, Sol, Maga K... sin ustedes no estar´ ac´.
ıa a
Lo m´s importante que logr´ al entrar (y vivir) en el pabell´n 1 es su amistad. Por
a
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compartir interminables horas de cursada y de estudio, la desesperaci´n pre-parcial
o
y la angustia post-parcial, los viajes, las “salidas tranquilas que ma˜ana quiero
n
estudiar” y las que no lo fueron tanto... Enparticular a Juli´n, que me ayud´ a
a
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poner a punto la compu, y a Lean y Sandra, que me ayudaron con los dibujos.
– A mi prima Nati, a Mari y a Osvi, por escuchar, entender y compartir, por esas
charlas profundas con muuucho mate de por medio...

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Indice general
Introducci´n
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1. Nociones de geometr´ algebraica real
ıa

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1.1. Cuerpos reales cerrados . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1. Definiciones y propiedades elementales . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2. Series de Puiseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Conjuntos semi-algebraicos y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1. Conjuntos algebraicos y semi-algebraicos . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2. Principio deTarski-Seidenberg y transferencia . . . . . . . . . 14
1.2.3. Funciones semi-algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4. Descomposici´n de conjuntos semi-algebraicos . . . . . . . . . 21
o
1.3. Propiedades topol´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
o
1.3.1. Conjuntos semi-algebraicos cerrados y acotados . . . . . . . . 22
1.3.2. Conexi´n semi-algebraica . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 23
o
2. Roadmaps de conjuntos semi-algebraicos

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2.1. Topolog´ de conjuntos algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
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2.1.1. Conjuntos algebraicos regulares y acotados . . . . . . . . . . . 28
2.1.2. Conjuntos algebraicos no regulares . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2. Roadmaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 43
2.2.1. Roadmap de un conjunto algebraico acotado . . . . . . . . . . 43
2.2.2. Roadmap de un conjunto algebraico no acotado . . . . . . . . 45
2.2.3. Roadmap de conjuntos semi-algebraicos . . . . . . . . . . . . . 49
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INDICE GENERAL

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3. Algoritmos para el c´lculo de roadmaps
a

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3.1. Algoritmos y codificaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
o...