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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden
El archivo FirstOrderODEs.mth define funciones para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Las definiciones de las funciones se leen automáticamente cuando cualquiera de ellas se usa por primera vez. Las funciones con el sufijo GEN dan la solución general (en términos de una constante simbólica). Las funciones sin elsufijo GEN nos dan una solución particular cuando tenemos condiciones iniciales (numéricas), o nos dan una solución general en términos de condiciones iniciales simbólicas. En muchos casos, los resultados son ecuaciones en forma implícita. Además, esas ecuaciones pueden contener integrales que Derive no pueda simplificar exactamente. Sin embargo, en algunos casos tales soluciones implícitas seconsideran suficientes incluso con las integrales. Evidentemente, si una solución implícita no contiene integrales, puede usar Resolver > Expresión para intentar obtener soluciones en forma explícita. Tanto en esta sección como en Ecuaciones diferenciales de segundo orden y en los correspondientes archivos de utilidades, la variable x denota la variable independiente y la variable y denota la variabledependiente. Además x0 denota el valor inicial de x, y0 denota el correspondiente valor inicial de y, es decir y0=y(x0). dy/dx se abrevia como y'. En Derive el apóstrofe o la coma simple no pueden usarse para denotar las derivadas. Si quiere encontrar una solución particular usando condiciones iniciales simbólicas o numéricas, lo mejor es usar la función que da directamente soluciones particulares,aunque siempre puede sustituir, después de encontrar la solución general, x0 e y0 en dicha solución general, resolver para c (la constante) y luego sustituir este valor de c de nuevo en la solución general... Métodos Elementales DSOLVE1_GEN(p, q, x, y, c) solución general de una ecuación de la forma p(x, y) + q(x, y)·y' = 0 usando la constante simbólica c. Nótese que la mayoría de las ecuacionesdiferenciales de primer orden se pueden escribir de esa forma. DSOLVE1_GEN puede resolver ecuaciones exactas, lineales, separables, homogéneas y ecuaciones con factor integrante que dependa sólo de x o sólo de y. Si la ecuación no es de ninguno de los tipos anteriores, DSOLVE1_GEN devuelve la palabra "inapplicable". En este caso, se puede comprobar si se puede resolver con alguna de las funcionesadicionales que aparecen en este archivo, de acuerdo con el tipo de ecuación al que pertenezca. DSOLVE1(p, q, x, y, x0, y0) es similar a DSOLVE1_GEN, pero nos da la solución particular para las condiciones iniciales y=y0 en x=x0. Estas condiciones iniciales pueden ser números, variables, o expresiones generales. Por ejemplo, para resolver la ecuación diferencial 2·x·y + (1 + x²)·y' = 0 con lacondición inicial y=1 en x=0, simplifique la expresión DSOLVE1(2·x·y, 1 + x^2, x, y, 0, 1) Se obtiene la solución en forma implícita x^2·y + y - 1 = 0 Para verificar que satisface la condición inicial, haga x=0 y y=1 en la solución. Al simplificar, comprobará que se obtiene la identidad 0=0. La función de diferenciación implícita IMP_DIF del archivo DifferentiationApplications.mth puede ser

útilpara verificar una solución implícita de una ecuación diferencial. Por ejemplo, para verificar la solución implícita anterior, introduzca la expresión 2·x·y + (1 + x^2)·IMP_DIF(x^2·y + y - 1, x, y) y vea que da 0=0. Si es necesario obtener una solución explícita de una ecuación diferencial, use Resolver > Expresión . Por ejemplo, resolviendo la solución implícita anterior para y obtenemos 1 y =———————— 2 x + 1 Para verificar que esta solución explícita satisface la ecuación diferencial, sustitúyala en el enunciado. Por ejemplo, sustituyendo 1/(x²+1) para y en 2 d 2·x·y + (1 + x )·—— y dx y simplificando, el resultado sería 0. Las funciones siguientes sirven para resolver los tipos particulares de ecuaciones diferenciales englobados por esta función. Se incluyen básicamente por motivos...