INSTITUTO TECNOLOGICO DE M RIDA



INSTITUTO TECNOLOGICO DE MÉRIDA


METODOS NUMERICOS


MAESTRO: CARLOS PADRÓN


ALUMNO: MIGUEL DAVID CASTILLO MANZANILLA


SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES VARLOR INICIAL

01/06/2015
Fundamentos
Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida o una o más variables.
Fundamentos de ecuaciones diferenciales.
Una ecuación diferencial esuna ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones
desconocidas.
Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones
diferenciales se dividen en
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una
sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respectoa dos o más variables.
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran
a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

es una ecuación diferencial ordinaria, donde  representa una función no especificada
de la variable independiente , es decir, ,  es la derivada de  con respecto a .
La expresión es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida).
La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en
buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial.
Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o
mediante unatransformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
Orden de la ecuación
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.
Grado de la ecuación
Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación
esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
Ecuación diferencial lineal
Sedice que una ecuación es lineal si tiene la forma 
, es decir:
Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Ejemplos:
 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tienecomo soluciones
 , con k un número real cualquiera.
 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones 
, con a y b reales.
 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones 
, con a y b reales.

https://sites.google.com/site/metodosnumericosmecanica/home/unidad-vi/61-fundamentos-de-ecuaciones-diferenciales



Método de Euler
Sellama método de Euler al método numérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.
La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en Xi (ver Gráfico Nº01). [1]
Donde f (Xi, Yi) es la ecuación diferencial evaluada en Xi y Yi, Tal estimación podrá substituirse en la ecuación [2] nos queda que:
[2]Esta fórmula es conocida como el método de Euler (punto medio). Se predice un nuevo valor de Y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de X).

Error para el método de Euler
La solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) involucra dos tipos de error.
1) Errores de Truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza delas técnicas empleadas para aproximar los valores de y.
2) Errores de Redondeo, que son el resultado del número límite de cifras significativas que pueden retener una computadora.  
Método de Euler Mejorado
Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. 
La fórmula es la siguiente: 

Donde

Para entender esta...