INSTRUCIONES CALCULADORA

Apuntes de L´gica Matem´tica
o
a
2. L´gica de Predicados
o

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e
C´diz, Abril de 2005
a

Universidad de C´diz
a

Departamento de Matem´ticas
a

ii

Lecci´n 2
o

L´gica de Predicados
o
Contenido
2.1

Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.1.1

28

2.1.2

Universo delDiscurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.3
2.2

Predicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Predicados y Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2.1

35

2.2.2Valor de Verdad del Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.3

Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.4

Valor de Verdad del Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.5
2.3

Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Alcance de un Cuantificador

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

C´lculo de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

44

2.3.1

46

Equivalencia L´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

46

2.3.3

Leyes de De Morgan Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

462.3.4

Regla general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.3.5

Proposiciones al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.3.6

Predicados al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.3.7

2.1

Implicaci´n L´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
o
o

2.3.2

Asociatividad y Distributividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Definiciones

Cualquier teor´ cient´
ıa
ıfica aspira a enunciar leyes, postulados, definiciones, teoremas, etc... con una
validez m´s o menos universal y, en cualquier caso, bien precisada. A menudo interesa afirmar que todos
a
los individuos de un cierto campotienen la propiedad p o que algunos la tienen.
El c´lculo proposicional no es suficientemente fuerte para hacer todas las afirmaciones que se necesitan
a
en matem´ticas. Por ejemplo, afirmaciones como “x = 5” ´ “x
a
o
y” no son proposiciones ya que
no son necesariamente verdaderas o falsas. Sin embargo, asignando valores concretos a las variables x
e y, las afirmaciones anteriores sonsusceptibles de ser verdaderas o falsas, es decir, se convierten en
proposiciones.
En castellano tambi´n ocurren situaciones similares, por ejemplo,
e
27

Universidad de C´diz
a

Departamento de Matem´ticas
a
Ella es alta y rubia.
El vive en el campo.

Ella, ´l y el campo se utilizan como variables,
e
x es alta y rubia.
x vive en y

2.1.1

Predicado

Es una afirmaci´n que expresa unapropiedad de un objeto o una relaci´n entre objetos. Estas
o
o
afirmaciones se hacen verdaderas o falsas cuando se reemplazan las variables (objetos) por valores
espec´
ıficos.
Ejemplo 2.1 La afirmaci´n “p(x) : x es alta y rubia” es un predicado que expresa la propiedad del
o
objeto x de ser “alta y rubia”. Si sustituimos la variable x por un valor determinado, por ejemplo Laura,
entoncesel predicado se transforma en la proposici´n “Laura es alta y rubia” que podr´ ser verdadera
o
a
o falsa. El predicado “q(x) : x vive en y” expresa una relaci´n entre los objetos x e y. Si sustituimos x
o
por Pedro e y por Madrid, obtendremos la proposici´n “Pedro vive en Madrid”.
o
Ejemplo 2.2 Los predicados se usan frecuentemente en sentencias de control en lenguajes de programaci´n de...