Instrumentacion Diseño De Procesos

Análisis en el Dominio del Tiempo

Sistemas de Control
8 de Marzo de 2011

(SCTR)

Análisis en el Dominio del Tiempo

8/03/2011

1 / 20

Índice

1

Especificaciones

2

Estabilidad
Criterio de estabilidad de Routh

3

Error en estado estacionario

4

Introducción a MATLAB

(SCTR)

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8/03/2011

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1

Especificaciones2

Estabilidad
Criterio de estabilidad de Routh

3

Error en estado estacionario

4

Introducción a MATLAB

(SCTR)

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Especificaciones respuesta transitoria

ω
π−β
1
tan−1 (− d ) =
Tiempo de subida: tr =
ωd
σ
ωd
π
Tiempo de pico: tp =
ωd
√
2
Sobreelongación máxima: Mp = e−(ξ/ 1−ξ )π
4
3
Tiempo deasentamiento: ts =
(2 %) o
(5 %)
ξωn
ξωn
Tiempo de retardo: td
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Sistemas de orden superior I
R(s)

E(s)
+

−

H(s)

U(s)

G(s)

Y(s)

Si G(s) =

p(s)
n(s)
y H (s) =
q (s)
d (s)

entonces

Y (s)
G(s)H (s)
=
R (s)
1 + G(s)H (s)

Y (s)
p(s)n(s)
=
R (s)
q (s)d (s) + p(s)n(s)

Y (s)
b0 s m + b1 s m− 1 + · · · + b m − 1 s + b m
=
R (s)
a0 s n + a1 s n − 1 + · · · + a n − 1 s + a n
Y (s)
K (s + z1 )(s + z2 ) · · · (s + zm )
=
R (s)
(s + p1 )(s + p2 ) · · · (s + pn )
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Sistemas de orden superior II
1
s
Si los polos en lazo cerrado son reales y distintos
Para R (s) =

Y (s) =

a
+
s

n
i =1

ai
s + piSi los polos en lazo cerrado son reales y/o pares complejos
conjugados
a
Y (s) = +
s

q

j =1

aj
+
s + pj

r
k =1

bk (s + ξk ωk ) + ck ωk

2
1 − ξk

2
s2 + 2ξk ωk s + ωk

donde (q + 2r = n)
(SCTR)

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Sistemas de orden superior III

Entonces
q

r

bk e−ξk ωk t cosωk

aj e−pj t +

y (t ) = a +
j=1

k =1

1 − ξ2t +

r

ck e−ξk ωk t sinωk

+
k =1

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1 − ξ 2 t , para t ≥ 0

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1

Especificaciones

2

Estabilidad
Criterio de estabilidad de Routh

3

Error en estado estacionario

4

Introducción a MATLAB

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Polos dominantes yestabilidad
Los polos en lazo cerrado con efectos dominantes se llaman
polos dominantes en lazo cerrado
Si algún polo se encuentra en el semiplano derecho del plano
s, el sistema es inestable
Si todos los polos se encuentran en el semiplano izquierdo del
plano s, el sistema es estable
La estabilidad es una propiedad del sistema, no depende de la
entrada
Si los polos dominantes complejosconjugados se encuentran
cerca del eje j ω , tendremos oscilaciones abundantes y una
respuesta lenta
Analizaremos la situación de los polos en el plano s más adelante

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Criterio de estabilidad de Routh I
Supongamos
b0 s m + b 1 s m − 1 + · · · + b m − 1 s + b m
Y (s)
=
R (s)
a0 s n + a 1 s n − 1 + · · · + a n − 1 s + anEscribimos
a0 sn + a1 sn−1 + · · · + an−1 s + an = 0, donde an = 0
Condición necesaria de estabilidad:
ai > 0, ∀i

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Criterio de estabilidad de Routh II
Ordenamos
sn
s n −1
s n −2
s n −2
·
·
·
s2
s1
s0

a0
a1
b1
c1
·
·
·
e1
f1
g1

a2
a3
b2
c2
·
·
·
e2

a4
a5
b3
c3

a6
a7
b4
c4

······
···
···

a1 b2i − a0 b2i +1
ai
b1 a2i +1 − a1 b2i
ci =
b1
c1 bi +1 − b1 ci +1
di =
c1
···
bi =

Condición necesaria y suficiente: ai > 0, ∀i y todos los términos
de la primera columna del array tengan signo positivo
(a0 , a1 , b1 , c1 , d1 , ..., g1 )
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Criterio de estabilidad de Routh III (Casos...