Instrumentos derivados

Yolanda Fabiola Vera Martínez.

Materia: Instrumentos derivados.

M.F. Luis Fernando Muñoz González.

Actividad de aprendizaje 3. Valuación teórica de opciones call y put

Instrucciones
Fórmulas Black y Scholes:

Para los precios de opciones europeas tanto de compra como de venta sobre acciones sin pago de dividendos:
c = SN (d1) - Ee-rT N(d2)
p = Ee-rT N(-d2) – SN(-d1)
d1 = [ln(S/E) + [r + (s2 / 2)] T)] / [s (T ^ (1/2))]
d2 = [ln (S/E) + [r – (s2 / 2)] T)] / [s (T ^ (1/2))] = d1 - [s (T ^ (1/2))]

La función N(x) es la función de probabilidad acumulada para una variable normal estandarizada.

Para los precios de opciones europeas tanto de compra como de venta sobre acciones con precio S que pagan un dividendo continuo a una tasa constante de q:

c =Se-qTN(d1) - Ee-rt N(d2)
p = Ee-rt N(-d2 ) - Se-qT N(-d1)

d1 = [In(S/E)+[(r-q + (s2 /2)]T] / [s (T^(1/2))]
d2 = d1 – [s (T^(1/2))]

Para los precios de opciones europeas tanto de compra como de venta sobre divisas:

c = Se-rfT N(d1) - Ee-rTN(d2)
p = Ee-rTN(-d2) - Se-rf TN(-d1)

d1 = [ln (S/E) + [(r - rf +(s2 /2)]T] / [s (T^(1/2))]
d2 = d1 – [s (T^(1/2))]

Las fórmulas deBlack-Scholes para opciones europeas sobre acciones que no pagan dividendos.

 El análisis de Black-Scholes es análogo al análisis de no arbitraje que utilizamos para valorar opciones por el método binomial.
 Se establece una cartera libre de riesgo consistente en posiciones largas en un determinado número de acciones (D) y una posición corta en una opción.
 En ausencia de oportunidades de arbitrajela rentabilidad de esta cartera debe ser el tipo de interés sin riesgo.
 La razón por la que puede establecerse una cartera sin riesgo es que el precio de las acciones y el precio de la opción están afectados por la misma fuente de incertidumbre
 De esta forma, el beneficio o pérdida de la posición en acciones siempre compensa el beneficio o pérdida de la posición en la opción, con lo que elvalor de la cartera no varía.
 Utilizando estos argumentos, Black y Scholes obtuvieron una ecuación diferencial, cuya solución es la fórmula de Black-Scholes para una opción europea sobre acciones que no pagan dividendos.
 Como en el caso binomial, es posible obtener el valor teórico de la opción mediante un método alternativo basado en calcular el valor actual de los pagos futuros de laopción, utilizando unas probabilidades que garanticen que no existan oportunidades de arbitraje:

 Donde g(ST) es la función de densidad de ST, que es normal por hipótesis


EJERCICIO 1

Considerar una opción sobre un activo que no paga dividendos, cuando:
S = 30 $
X = 29 $
r = 5% anual continuo
s = 0,25 anual
El vencimiento de la opción es dentro de 4 meses
 A) Calcular el precio dela opción si es una call europea
 B) Calcular el precio de la opción si es una put europea
 C) Comprobar que se cumple la paridad put-call.

A)

Acudiendo a las tablas de la normal, obtenemos



B) Sustituyendo los valores en la fórmula de Black-Scholes para una opción put obtenemos:

C) Paridad put-call

EJERCICIO 2

Calcule el precio de una opción de compra de tres mesesEuropea sobre una acción con un precio de 25 dólares cuando el precio actual es de $ 21.6 La volatilidad es 35% y libre de riesgo de tipos de interés es del 1% anual

En este caso, S= 21.6, E = 25, T = 0.25, σ = 0,35 y r = 0.01.

El valor de opción de compra es C= N (d1)-Ee-rTN (d2).

En primer lugar, calculamos los valores de d1y d2:

d1=ln (S/ E) +(r + σ2/ 2)Tσ √ T=En(21.625)+ (0,01 +(0,35)2×0.5))×0.250.35×√ 0,25≈ -0,7335

d2= D1-σ√ T =-0,7335-0.35×√ 0,25≈ -0,9085

Desde
N (-0.7335)≈0,2316,N (-0.9085)≈0,1818

Obtenemos

C0≈21.6×0,2316-25×e-0.01×0.25×0.1818 = 0.4689

EJERCICIO 3
Veremos cómo utilizar el modelo binomial para obtener una primera aproximación al precio teórico de una opción europea sobre una acción que no paga...