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Instituto Técnico Emiliani

Funciones Inversas

Asignatura: Matemática.

Docente: Jessica Cristina Ramírez

Alumnos: Fabio Enrique Carrillo Menéndez # 1
Luis Ernesto López Ayala # 7
Elba Guadalupe Medrano Jandres # 11
Karla Ileana Molina Lozano # 20
Steven Alexis Pérez Ramírez #27

Sección:1C2

Nota: ______






INTRODUCCIÓN.
La operación inversa de la suma es la resta, de la multiplicación es la división; mientras que la operación inversa de la elevación a potencias es la extracción de raíces. En suma, lo que una operación hace, su operación inversa lo deshace.

De la misma manera, la función inversa de f, la cual se denota como f¯¹, es aquella función que deshace todo lo que fhace.

DEFINICIÓN.

Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente existe a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.
Imagina que tienes la función y = f (x). Tú le das un valor (x) y ella te devuelve otro (f (x)).
Una buena idea sería encontrar una función que cuando le demos el valor f (x) nos devolvierax, es decir, una máquina que haga la transformación inversa de f (x).
En otras palabras, queremos encontrar una función que deshace la transformación que ocasiona la función f sobre los números que le damos.





En otras palabras, si intercambiamos las coordenadas de los pares formados por (x, f (x)) obtenemos (f(x), x), que no son sino los puntos de la función inversa f ¯¹. Es decir, el dominiode f es el contra dominio de f¯¹ y el contra dominio de f es el dominio de f ¯¹.
Importante:
f¯¹(x) no significa 1 .
f (x)


No todas las funciones tienen función inversa. Esto se debe a la definición de función.
Para que una relación sea considerada función, para cada elemento del dominio le debe corresponder a lo más un elemento del contra dominio.Si una función debe tener función inversa, a cada elemento del contra dominio le debe corresponder a lo más un elemento del dominio (por definición de función inversa).
En otras palabras, para cada elemento del dominio de f le corresponde un elemento de su contra dominio y viceversa.





Esto implica que para dos valores a, b distintos, entonces f (a) ≠ f (b). En otras palabras solamente para lasfunciones «uno a uno» podemos calcular su función inversa.
Ya se había mencionado en la sección anterior que si la función f es uno a uno (inyectiva), entonces cumple con:

Si a ≠ b, entonces f (a) ≠ f (b)

y además, si g es la inversa de f , entonces, g( f (a)) = a y g( f (b)) = b, por lo que si f (a) = f (b), se sigue que a = b.
Lo anterior nos indica que:

Teorema 1
Si la función f tieneinversa, entonces, para cualesquiera dos elementos a, b en el dominio de f que cumplen a ≠ b, se tiene que f (a) ≠ f (b).

En otras palabras, si una función tiene inversa, entonces es uno a uno y viceversa, si una función es uno a uno, entonces tiene inversa. Si y0 está en el contra dominio de la función f , entonces este valor tiene asociado un único valor x0 a partir del cual se le calculó usando f. Es decir, y0 = f (x0).

Si definimos la función g que toma como su dominio al contra dominio de f y asignamos al contra dominio de g los elementos del dominio de f , estamos diciendo que g es la función inversa de f .

Tanto f como g son funciones (una inversa de la otra) porque cumplen con la condición de que «a cada elemento del dominio le corresponde a lo más un elemento del contra dominio»,impuesto por la definición de función.



Ejemplo 1Calcula la función inversa de la función:
y = 2 x + 7

Por definición de función inversa, para cada x le corresponde un y, y viceversa.
La función «directa» es: y = 2 x + 1.
La función inversa «deshace» la transformación, es decir, le damos y y ésta nos devuelve x.
En otras palabras, la variable dependiente de la función «directa» viene...