intacal

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INTRODUCCION AL CALCULO .
Abelardo Arrieta Vergara1
Armando Arrieta Arroyo2
Carlos De Oro Aguado3
Universidad Pontificia Bolivariana
2013-I

1

abelardo.arrieta@upb.edu.co
armando.arrieta@upb.edu.co
3
carlos.deoro@upb.edu.co
2

Contenido

1. Funciones
1.1. Formas de representar una funci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

2
2

2. L´
ımites8

3. L´
ımites infinitos y continuidad

9

4. La derivada

10

5. Tecnicas de diferenciaci´n
o

11

6. Regla de la cadena

12

7. Derivada de funciones trascendentes

13

8. Derivaci´n implicita
o

14

1

CAP´
ITULO

1

Funciones

1.1.

Formas de representar una funci´n.
o

Preguntas guias para la semana 1
¿Qu´ es una funci´n?.
e
o
¿Cu´les sonlas 4 manera t´
a
ıpicas de representar una funci´n?.
o
¿Cu´les son las funciones del “Banco de funciones” aprendidas en bachillerato?.
a
¿Cu´ndo dos funciones son iguales?.
a
¿Como determinar dominio, rango y gr´fica de una funci´n?.
a
o
¿Cu´les son las caracteristicas b´sicas de las funciones del “Banco de funciones”?.
a
a
¿Como fabricar m´s funciones?
a
El c´lculo es, en general,el estudio de las funciones. Los objetos de estudio en el c´lculo son
a
a
funciones (y en particular, se estudiaran funciones reales de una variable real). Por ello, si vamos a
estudiar las funciones debemos saber lo que son.
En la vida diaria las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra. Por ejemplo
1. El precio de m libras de carne depende del valor de una libra de carne.2. El precio del transporte depende del precio de la gasolina.
3. El consumo de energ´ de una persona que hace ejercicio depende de la intensidad del ejercicio.
ıa
4. La temperatura de un lugar situado en el tr´pico depende de su altura sobre el nivel del mar.
o
5. La oferta de un producto determina el precio del mismo.

2

´
1.1. FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCION.

6. El n´mero deindividuos de una poblaci´n var´ con el tiempo.
u
o
ıa
Esa idea de que un dato, (una situaci´n, una magnitud) depende, est´ en funci´n o var´ con
o
a
o
ıa
otra aparece con mucha frecuencia en F´
ısica; por ejemplo, el espacio recorrido por un movil en
una unidad de tiempo depende de la velocidad del movil y naturalmente, esa idea aparece en
matem´ticas, cuando se dice por ejemplo que
a1. El ´rea de un c´
a
ırculo depende (est´ en funci´n) del radio.
a
o
2. El ´rea de un rect´ngulo esta en funci´n de la base y de la altura.
a
a
o
3. El volumen de una caja depende de su largo, ancho y altura.
Con respecto a estos ejemplos, si A denota el ´rea del c´
a
ırculo y r denota el radio, para indicar que
A depende de r, se escribe A(r). En el segundo caso si A denota el ´readel rect´ngulo y, b y h su
a
a
altura, para indicar que A depende de b y h se escribe A(b, h) y en tercer caso, si V representa el
volumen de una caja, de aristas a, b, c; para indicar que V depende de a, b, c y se escribe V (a, b, c).
Especialmente, se tiene que:
A(r) = πr2 ,

A(b, h) = bh,

V (a, b, c) = abc.

Dichas f´rmulas contienen unos s´
o
ımbolos que toman valoresnum´ricos, (por ejemplo A(2) =
e
π (2)2 = 4πu2 ; A(2, 3) = 2 · 3u2 = 6u2 , A(1, 2, 3) = 1 · 2 · 3u3 = 6u3 ), las cuales llamaremos variables
(independientes). Es claro que el valor de A en los casos 1), 2) y el de V dependen de r, (b, h) y
a, b, c, respectivamente. De esta manera:
En A(r) = πr2 , diremos que A es una funci´n de una variable real.
o
En A(b, h) = bh, diremos que A es una funci´n de dosvariables reales.
o
En V (a, b, c) = abc, diremos que V es una funci´n de tres variables reales.
o
Siguiendo las ideas del profesor J. Stewart (C´lculo; conceptos y contextos) se tienen 4 maneras
a
posibles de representar una funci´n.
o
Verbalmente: [Mediante una descripci´n en palabras]. Por ejemplo el precio P de m libras
o
de carne depende del valor P de una libra de carne....