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Unidad 4- Sucesiones y series

En esta unidad la experiencia cotidiana brinda un sentimiento intuitivo de la noción de una sucesión. Las palabras sucesión de eventos o sucesión de números sugiere un arreglo en el que los eventos E o los números n se establecen en algún orden: E1,E2,E3,... o n1, n2, n3, ....
Cualquier estudiante de matematicas tambien esta familiarizado con el hecho de quecualquier numero real puede escribirse como un decimal. Por ejemplo, el numero racional 1/3= 0.333..., donde los misteriosos tres puntos siginifica que los tres digitos se repiten eternamente. Eso quiere decir que el decimal 0.333... es una suma infinita o la serie infinita.
3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 +...
En esta unidad observaremos que los conceptos de sucesión y serie infinita estánrelacionados.

Definición de Sucesión

Definición de sucesión
Una sucesión es una función cuyo dominio son los números positivos.

Pueden describirse como una lista de números de la siguiente manera {a1, a2, a3,…. an}
Generados a partir de una función f. Así que la sucesión es un conjunto ordenado de números:
f (1), f (2), f (3),…, f(n)

Por lo cual los términos de una sucesión tienen unaregla o patrón de aparición.

Ejemplo 1. De la lista siguiente: 1, 3, 5, 7, 9,… etc.
La regla de aparición es 2n -1.
Ejemplo 2. De la lista siguiente: 2, 4, 6, 8, 10, 12,…. Etc.
La regla de aparición es 2n.

Sucesión monótona creciente

Una sucesión es monotona creciente si se cumple para todo n natural an = an)

an= 1/n es monótona decreciente
Ejemplo: a1=1, a2= 1/2, a3= 1/3, a4=1/4,...

Limite finito e infinito de una sucesión

Límite finito

lim an = a para todo ε>0 existe N natural / para todo n > N a - ε < an < a + ε, o lo que es lo mismo, |an - a| < ε.

Para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un natural N suficientemente grande tal que a partir del índice N en adelante se tiene que |an - a| < ε.
Es decir, si tomamos un entorno dea de cualquier radio siempre habrá un subíndice N tal que desde N en adelante todos los términos de la sucesión pertenecen a dicho entorno.

Límite infinito de una sucesión

Consideremos la sucesión an = n2.

a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16
...
a10 = 100
...
a100 = 10.000
Al crecer n, an no tiende a un límite definido, sino que crece más allá de toda cota. Se dice que an tiende ainfinito.


Límite infinito

lim an = +inf para todo K>0 existe N natural / para todo n > N an > K.

Para cualquier número positivo K (tan grande como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que aN y todos los términos siguientes son mayores que K. Esto quiere decir que an puede hacerse mayor que cualquier cota, con tal de que n sea lo suficientemente grande.

Del mismo modo se definelim an = -inf para todo K N an < K.
Propiedades de las sucesiones

Propiedades del límite finito de sucesiones

Unicidad del límite

Si una sucesión tiene límite es único.

H) lim an = b
T) b es único

Demostración:
La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que an tiene dos límites distintos b y c.
Suponemos que b > c.

lim an = b => (por def. de límite finitode una sucesión) para todo ε>0 existe n1 natural / para todo n > n1 b - ε < an < b + ε;

lim an = c => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe n2 natural / para todo n > n2 c - ε < an < c + ε

Consideremos un ε tal que c+ε < b-ε, o sea ε < (b - c)/2


Sea N = max {n1,n2}

Para todo n > N se cumple

b - ε < an < b + ε
c - ε < an < c + ε
Absurdo, pues an nopuede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.

Límite de la sucesión comprendida

Si una sucesión está comprendida entre otras dos que tienen igual límite, entonces tiene el mismo límite.

H) lim an = lim bn = p
Para todo n > n0 an 0 existe n1 natural / para todo n > n1 p - ε1 < an < p + ε1

lim bn = p => (por def. de límite de una sucesión)...