integlales triples

Problemas resueltos de integrales dobles                Matemáticas I               Curso  2011­2012   

45. Calcular, mediante coordenadas cartesianas, las siguientes integrales:

siendo

,,

1,

0

Observando el dibujo, lo más cómodo es parametrizar el recinto de la siguiente forma

0
0

1

1
2

Así nuestra integral resulta

1

2

1
2

1
8

3
8Problemas resueltos de integrales dobles                Matemáticas I               Curso  2011­2012   
Este valor coincide además con el área del recinto (puedes calcularla con las fórmulas básicas decálculo de áreas de figuras regulares, pues el recinto está formado por un triángulo y un rectángulo);
pero esto ya lo sabíamos, porque una el área de un recinto

siendo

,

/0

es precisamente,

1,

0

Como el recinto es el mismo, parametrizamos de igual forma la integral (sólo cambia el integrando)

Realizamos primero la integral indefinida respecto de la variable

calculandouna primitiva

2
Así nuestra integral resulta
1
2
1
2

1
2

1
1

1

2 8

2 5

2
1
2 12

2

8
11
2 15

11
3840

5

12Problemas resueltos de integrales dobles                Matemáticas I               Curso  2011­2012   
siendo

,

/

16,

,

6

,

0,

1Problemas resueltos de integrales dobles                Matemáticas I               Curso  2011­2012   

En esta ocasión hemos dividido el recinto en dos como se ve en el dibujo para tomar con referencia fija
la variable , quedando la variable

acotada entre dos funciones de . Así resultan integrales que se

puedenresolver. Si hubiésemos invertido los papeles de las variables (la
variable

entre valores fijos y la

acotada entre funciones de , necesitamos 3 recintos diferentes y las integrales resultantestienen un poco más de dificultad, pero también salen)

Así los recintos parametrizados son:
1

2

2

4

6

Así nuestra integral queda:

1...