Integración superior

TEMA 12
INTEGRACIÓN SUPERIOR
INTEGRAL DOBLE
Sea
una función acotada donde
La función f es integrable (Riemann) en R si
∬

(

)

(

∫ ∫

(

)

(

∫ (∫

] [ ]
, donde:

)

TEOREMA DE FUBINI
Si f(x,y) es una función continua en
∬

[

[
)

] [

], entonces:

∫ (∫

)

(

)

)

[
] [ ] y además la función f se puede descomponer en un producto de
Si,
dos funciones, cada una de ellas dependiendo únicamente de una variable ( ) ( ), donde
]) y ( )
([
([ ]), entonces:
( )
(

∬

)

∫

( )

∫

( )

CÁLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE CUANDO D ES UNA REGIÓN ELEMENTAL


{(
∬

[

)

(

]

( )
( )

)

∫ (∫

(

( )}
)

)

( )



{(
∬

)

(

( )

)

[

( )
( )

∫ (∫

(

)

]}

)( )

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA LA INTEGRAL DOBLE
Si
es continua, siendo D una región elemental de área A(D), existe un punto
(
)
tal que:
∬

(

)

(

)

( )

CÁLCULO DE VOLÚMENES
∬

(

)

El volumen entre dos superficies z=f(x,y) y z=g(x,y) es:
∬ ( (

)

(

Juan José García Sanz

))

1

ÁREAS Y MASAS PLANAS


Si f=1 en la región elemental D:
( )

∬

Si D es el espacio que ocupa una placa cuya densidad en cada punto viene dada por
( ), la masa total de la placa es:
∬



(

)

El promedio de f(x,y) sobre D es:
( )

( )

∬

(

)

FÓRMULA DE GREEN
Si D es un dominio simplemente conexo con frontera una curva C regular a trozos y P, Q, Py
y Qx son continuas en
, entonces:
∮

∬ (

)

Sólo se puedeaplicar si C es una curva cerrada.
CÁLCULO DE ÁREAS
El área A de una región plana D, delimitada por una curva C cerrada, simple y regular a
trozos viene dada por:
∮

∬

CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES DOBLES
COORDENADAS POLARES
P(x,y) es un punto de coordenadas cartesianas en el plano XOY. Las ecuaciones de cambio
son:

ángulo(̅̅̅̅
)
- Jacobiano de la transformación
| (

∬

|
|)|

(

)

Juan José García Sanz

|
|

∬

(

)

2

COORDENADAS POLARES GENERALIZADAS
Cuando el recinto de integración es el encerrado por la elipse de semiejes a y b con centro
), el cambio es:
en (

- Jacobiano de la transformación
| (

|
|

)|

|
|

CASO PARTICULAR
Sea la región D limitada por
es:
u = g(x,y); v = h(x,y)
Por lo que:
x = x(u,v); y = y(u,v)- Jacobiano de la transformación
| (

)|

(

∬
[

|

)

(

,

)

, el cambio de variable

|

)
]

(

( (

∬
[

) (

)) | (

)|

]

SUPERFICIES ALABEADAS
Tipos de representación, dada una superficie S:
1. Forma cartesiana implícita: F(x,y,z)=0
2. Forma cartesiana explícita: z=f(x,y)
3. Forma paramétrica: x=x(u,v), y=y(u,v=, z=z(u,v);
4. Formaparamétrica vectorial: coordenadas del vector de posición en cada punto.
SUPERFICIE REGULAR
Sea la superficie S y el punto



Si se fija u=u0, donde
(
una curva
Si se fija v=v0, donde
(
una curva

Juan José García Sanz

(

)
(
)
(
)

),
(
),
(

(
)

),
(

(
)

),
(

(
), se obtiene
) contenida en S.
(
), se obtiene
) contenida en S.

3

- Vectorestangentes
⃗

⃗⃗

⃗

⃗⃗ es el vector tangente a Cv en P0.

son vectores directores del plano tangente.
⃗

(

Si

⃗⃗ es el vector tangente a Cu en P0.

⃗
y

⃗

⃗

y

) es el vector normal al plano tangente.

son continuas en P0, éste es un punto regular. Si no lo son, P0 es un punto singular.

○ Si S viene dada en forma explícita
z= f(x,y) F(x,y,z) = z- f(x,y)
(⃗⃗ ) esel vector normal al plano tangente en P0.
(⃗⃗ )

(

)⃗

(

⃗⃗

)⃗

- Ecuación del plano tangente en 𝑃 (𝑥
(
) (
)
(
) (

𝑦

𝑧 )
) (

)

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
Si la curva C está en el plano ZOY, z=z(y) gira alrededor del eje OZ.
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
u = ángulo (⃗⃗⃗⃗⃗⃗,OX)
x = v·cos(u)
y = v·sen(u)
z = z(v)

Eliminando u y v:
(√

)

ÁREA DE UNA SUPERFICIE ALABEADA...