Integración definida

2 Integrales Indefinidas y Métodos de Integración
La integral Indefinida o antiderivada es el nombre que recibe la operación inversa a la derivada.
Es decir, dada una función F aquella consiste en encontrar una función f tal que Df = F.
Diferencial de una función
Si f es derivable, definimos al diferencial de una función (df), como el producto de la derivada de
f por un incremento de lavariable (∆x).

2.1 Definición Función Primitiva
Es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de
integración no vuelve exactamente a su función original
Una relación entre las variables que contenga “n” constantes arbitrarias, se llama primitiva. Las
“n” constantes reciben el nombre de esenciales si no se pueden sustituir por un número menor
deconstantes.
Ejemplo: Sea By = A.x² + C x + D ; las constantes A, B, C, D no son esenciales pues dividiendo
todo por B tenemos: y = A/B x² + C/B x + D/B = C1 . x² + C2 . x + C3
donde C1 = A /B

; C2 = C /B ; C3 = D/B luego y = C1 . x² + C2 . x + C3

Para hallar la ecuación diferencial de la primitiva dada; derivamos sucesivamente con respecto a
x
dy /dx= 2 C1 . x + C2 ;

d²y / dx² = 2 C1 ;d3y / dx3

=

0

Como esta última está libre de constantes arbitrarias, es la ecuación diferencial asociada a la
primitiva dada.
y=3x”+2x+18
dy/dx=6x+2
dy=6x+2 (dx)
Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c
2.2 Definición Integral Indefinida
“Integrar”, en el Cálculo, es el proceso inverso de la Derivación de funciones.
El conjunto de todas las primitivas de una función definida en se denominaintegral indefinida y
se simboliza

Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de x
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

Donde C representa una constante llamada constante de integración.
Ejemplo:
la derivada de y=5x es y’=5, la derivada de y=5x+3 es y’=5, la derivada de y=5x-2 es y’=5.
Según la anterior definición, podemos decirque la integral de 5 es 5x+3, ó 5x-2 o bien 5. Por ello
se abrevia diciendo que la integral de 5 es 5x+cte.

2.3 Propiedades Integral Indefinida
• . La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas
funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la
integral de lafunción.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

2.4 Calculo Integrales Indefinidas
2.4.1 Calculo Integrales Directas
La integración directa es aplicable es cuando identificamos la función primitiva de forma
inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos permite hallar
el integrando a partir de la función primitiva.

Usando la Formula directa

Problema Resuelto

2.4.2Calculo Integrales Por Cambio De Variable
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la
función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva
variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

:

2.4.3 Calculo IntegralesPor Partes
Permite resolver un gran número de integrales no inmediatas y es recomendable
cuando tenemos en el integrando el producto de distintos tipos de funciones.
Origen de la Formula
1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x), v = g(x).
2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x).g(x), permite
escribir, d (f(x).g(x)) =g(x).f´(x)dx + f(x).g´(x)dx
3. Integrando los dos miembros, ∫ d [f(x).g(x)] = ∫ g(x).f´(x).dx + ∫ f(x).g´(x).dx
De la misma manera que ∫ dx = x, también ∫ d [f(x).g(x)] = f(x).g(x)
Por tanto, f(x).g(x) = ∫ g(x).f´(x).dx + ∫ f(x).g´(x).dx.
De aquí se obtiene que:
∫ f(x).g´(x).dx = f(x).g(x) - ∫ g(x).f´(x).dx
Esta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u =f(x), du...