Integración numérica

Integración Numérica
En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función que sería: 1) Una función simple y continua tal como un polinomio, una exponencial o una trigonométrica. 2) Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente. 3) Una función tabulada en donde los valores de “ x ” y “ f ( x ) ” se da en un conjunto de puntosdiscretos, como es el caso a menudo de datos experimentales. En el primer caso la integral es simplemente una función que se puede evaluar usando métodos analíticos aprendidos en cálculo. En los dos últimos casos, se deben ocupar métodos aproximados. Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas o tipos de integración numérica más comunes que se basan en la estrategia de remplazar unafunción complicada o datos experimentales por un polinomio de aproximación que es más fácil integrar.

I = ∫ f (x )dx ≅
Donde f n ( x ) es un polinomio de la forma:
a

b

∫ f (x )dx.....(1)
n a

b

f n ( x ) = a0 + a1 x + ... + a(n −1) x (n −1) + an x n .....(2) Donde “n” es el grado de polinomio. Por ejemplo en la figura 1(a), se utiliza un polinomio de primer grado (una línea recta)como una aproximación. En la figura 1(b) se emplea una parábola con el mismo propósito.

Fig.1. La aproximación de una integral mediante el área bajo: a) una sola línea recta b) una parábola.

1 Profesor: MTS

La integral también se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados por tramos a la función o datos, sobre segmentos de longitud constante. Por ejemplo en la figura 2 seusan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral.

Fig.2. La aproximación de una integral mediante el área bajo tres segmentos de línea recta.

Se disponen de formas abiertas y cerradas de fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites deintegración extendidos más allá del rango de datos. Las formulas abiertas de Newton-Cotes, en general no se usan para en la integración definida. Sin embargo se usan extensamente es la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Método del Trapecio o Regla del Trapecio
La regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de integración Newton-Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de laecuación (1) es de primer grado.

I = ∫ f ( x )dx ≅ ∫ f1 ( x )dx.....(3)
a a

b

b

Recuerde que una línea recta se puede representar como:
f (b ) − f (a ) (x − a ).....(4) b−a El área bajo la línea recta es una aproximación de la integral de “ f ( x ) ” entre los límites a y b: b f (b ) − f (a )  (x − a )dx.....(5) I = ∫  f (a ) +  b−a  a  El resultado de la integración: f1 ( x )= f (a ) +
I = (b − a ) f (a ) + f (b ) .....(6 ) 2

Que se denomina regla del trapecio. 2 Profesor: MTS

Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que une f (a ) y f (b ) como se ve en la figura 3.

Fig. 3. Representación gráfica de la regla del trapecio.

Recuerde que la fórmula para calcular el área de un trapezoide esla altura por el promedio de las dos bases, Figura 4.

Fig. 4. a) La fórmula para calcular el área de un trapezoide: altura por le promedio de las bases. b) Para la regla del trapecio, el concepto es el mismo pero ahora el trapezoide está sobre su lado.

En nuestro caso, el concepto es el mismo, pero el trapezoide está sobre su lado, figura 6, por lo tanto, la integral aproximada se representacomo:

I ≅ ancho * altura _ promedio.....(7 ) I ≅ (b − a ) * altura _ promedio.....(8) Donde, para la regla del trapecio, la altura promedio es el promedio de los valores de la función en los puntos extremos o:
o

[ f (a ) + f (b ) ]
2 Todas las fórmulas cerradas de Newton-Cotes se expresan en la forma general de la ecuación (8). De hecho, solo difieren respecto a la formulación de la...